Cirkel A har et center på (3, 5) og et område på 78 pi. Cirkel B har et center ved (1, 2) og et område på 54 pi. Overlapper cirklerne?

Svar:

Ja

Forklaring:

For det første har vi brug for afstanden mellem de to centre, hvilket er # D = sqrt ((DeltaX) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) #

# D = sqrt ((5-2) ^ 2 + (3-1) ^ 2) = sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2) = sqrt (9 + 4) = sqrt (13) = 3,61 #

Nu har vi brug for summen af radii, da:

#D> (r_1 + r_2); "Cirkler overlapper ikke" #

# D = (r_1 + r_2); "Cirkler bare røre" #

#D <(r_1 + r_2); "Cirkler overlapper hinanden" #

# Pir_1 "" ^ 2 = 78pi #

# R_1 "" ^ 2 = 78 #

# R_1 = sqrt78 #

# Pir_2 "" ^ 2 = 54pi #

# R_2 "" ^ 2 = 54 #

# R_2 = sqrt54 #

# Sqrt78 + sqrt54 = 16,2 #

#16.2>3.61#, så cirkler overlapper hinanden.

Bevis:

graf ((x-3) ^ 2 + (y-5) ^ 2-54) ((x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2-78) = 0 -20,33, 19,67, -7,36, 12,64}

Svar:

Disse overlapper, hvis #sqrt {78} + sqrt {54} ge sqrt {(3-1) ^ 2 + (5-2) ^ 2} = sqrt {13}. #

Vi kan hoppe over regnemaskinen og tjekke # 4 (13) (54) ge (78-13-54) ^ 2 # eller #4(13)(54) > 11^2# som det sikkert er, så ja, overlapper hinanden.

Forklaring:

Cirkelområdet er selvfølgelig #pi r ^ 2 # så vi deler ud den gratis # Pi #s.

Vi har kvadratisk radii

# r_1 ^ 2 = 78 #

# R_2 ^ 2 = 54 #

og kvadreret afstand mellem centrene

# D ^ 2 = (3-1) ^ 2 + (5-2) ^ 2 = 13 #

Dybest set vil vi vide om # r_1 + r_2 ge d #, dvs. hvis vi kan lave en trekant ud af to radier og segmentet mellem centrene.

De kvadraterede længder er alle rigtige heltal, og det er ret sindssomt, at vi alle instinktivt når til regnemaskinen eller computeren og begynder at tage firkantede rødder.

Det behøver vi ikke, men det kræver en lille omvej. Lad os bruge Herons formel, ring området # Q #.

# Q = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # hvor # s = (a + b + c) / 2 #

# Q ^ 2 = ((a + b + c) / 2) (((a + b + c) / 2) -a) ((a + b + c) / 2) -b) + b + c) / 2) -c) #

# 16Q ^ 2 = (a + b + c) (a + b + c-2a) (a + b + c-2b) (a + b + c-2c)

(A + b-c) #

Det er allerede bedre end Heron. Men vi fortsætter. Jeg vil springe over et tedium.

# 16Q ^ 2 = 2 a ^ 2 b ^ 2 + 2 a ^ 2 c ^ 2 + 2 b ^ 2 c ^ 2 - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Det er pænt symmetrisk, som vi ville forvente for en arealformel. Lad os gøre det mindre symmetrisk udseende. Minde om

# (c ^ 2 - a ^ 2- b ^ 2) ^ 2 = a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2-2b ^ 2c ^ 2a ^ 2c ^ 2 #

Tilføjelse, # 16Q ^ 2 = 4 a ^ 2 b ^ 2 - (c ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2) ^ 2 #

Det er en formel for det kvadratiske område af en trekant, der giver sidernes kvadratiske længder. Når sidstnævnte er rationelle, så er det førstnævnte.

Lad os prøve det ud Vi er fri til at tildele siderne, men vi kan lide; for håndberegning er det bedst at lave # C # den største side, # c ^ 2 = 78 #

# A ^ 2 = 54 #

# B ^ 2 = 13 #

# 16Q ^ 2 = 4 (54) (13) - (78-54-13) ^ 2 = 4 (54) 13 - 11 ^ 2 #

Selv før vi beregner det mere, kan vi se, at vi har en positiv # 16Q ^ 2 # så en rigtig trekant med et positivt område, så overlappende cirkler.

# 16Q ^ 2 = 2687 #

Hvis vi havde fået en negativ værdi, et imaginært område, er det ikke en rigtig trekant, så ikke-overlappende cirkler.