Hvad er forskellen mellem en antiderivativ og en integreret del?

Der er ingen forskel, de to ord er synonyme.

Det afhænger af et par ting. Hvilken antiderivativ, den generelle eller en bestemt? hvilken integreret bestemt eller ubestemt? Og hvem spørger vi?

Generel antiderivativ og ubestemt integreret:

Mange matematikere adskiller ikke det ubestemte integral og det generelle antiderivative. I begge tilfælde for funktion # F # "svaret" er #F (x) + C # hvor #F '(x) = f (x) #..

Nogle (f.eks. Lærebogforfatter James Stewart) skelner. Hvad Stewart refererer til som "den mest generelle" antiderivative af # F #, indrømmer forskellige konstanter ved hver uregelmæssighed af # F #. For eksempel ville han svare på det mest generelle antiderivative af # 1 / x ^ 2 # er en stykkevis defineret funktion:

#F (x) = (- 1) / x + C_1 # til #X <0 # og # (- 1) / x + C_2 # til #x> 0 #.

Den ubestemte integral af # F #, i denne behandling er det altid et antivivative middel i et hvilket som helst interval # F # er kontinuerlig.

Så #int 1 / x ^ 2 dx = -1 / x + C #, hvor det forstås, at domænet er begrænset til nogle delmængder af enten de positive realer eller en delmængde af de negative realer.

Særlige antiderivativer

En særlig antiderivativ af # F # er en funktion # F # (i stedet for en familie af funktioner) for hvilke #F '(x) = f (x) #.

For eksempel:

#F (x) = (- 1) / x + 5 # til #X <0 # og # (- 1) / x + 1 # til #x> 0 #.

er en særlig antidervativ af #F (x) = 1 / x ^ 2 #

Og:

#G (x) = (- 1) / x-3 # til #X <0 # og # (- 1) / x + 6 # til #x> 0 #.

er en anden bestemt antidervativ af #F (x) = 1 / x ^ 2 #.

Bestemte integraler

Det konkrete integral af # F # fra #en# til # B # er ikke en funktion. Det er et tal.

For eksempel:

# int_1 ^ 3 1 / x ^ 2 dx = 2/3 #.

(For yderligere at komplicere sager kan dette bestemte integral findes ved hjælp af Fundamentalormen for Calculus, Del 2, ved først at finde den / en ubestemt integral / generel antiderivativ først og derefter gøre somearitmetisk.)

Dit spørgsmål er relateret til, hvad der virkelig var "nøgleindsigt" i udviklingen af calculus af Isaac Newton og Gottfried Leibniz.

Fokus på funktioner, der aldrig er negative, kan denne indsigt formuleres som: "Antiderivativer kan bruges til finde områder (integraler) og områder (integraler) kan bruges til Definere antiderivativer ". Dette er kernen i den grundlæggende sætning af calculus.

Uden at bekymre sig om Riemann-beløb (Bernhard Riemann levede alligevel næsten 200 år efter Newton og Leibniz alligevel) og tog begrebet område som et intuitivt (udefineret) koncept for en kontinuerlig, ikke-negativ funktion #f (x) geq 0 # for alle #x# med #a leq x leq b #, tænk bare på det konkrete integral symbol # int_ {a} ^ {b} f (x) dx # som repræsenterer området under grafen af # F # og over #x#-axis mellem # x = en # og # X = b #. Hvis en anden funktion # F # kan findes således #F '(x) = f (x) # for alle #a leq x leq b #, derefter # F # hedder en antiderivativ af # F # over intervallet # A, b # og forskellen #F (b) -F (a) # er lig med værdien af det bestemte integral. Det er, # int_ {a} ^ {b} f (x) dx = F (b) -F (a) #. Denne kendsgerning er nyttig for fund værdien af et bestemt integral (område), når en formel for et antiderivativ kan findes.

Omvendt, hvis vi laver den øvre grænse for integral symbolet en variabel, kalder den # T #, og definer en funktion # F # med formlen #F (t) = int_ {a} ^ {t} f (x) dx # (så #F (t) # er virkelig området under grafen af # F # mellem # x = en # og # X = t #, forudsat #a leq t leq b #), så denne nye funktion # F # er veldefineret, differentierbar og #F '(t) = f (t) # for alle tal # T # mellem #en# og # B #. Vi har brugt et integreret element i Definere en antiderivative af # F #. Denne kendsgerning er nyttig til at tilnærme værdier af et antiderivativ, når der ikke findes nogen formel for det (ved hjælp af numeriske integrationsmetoder som Simpsons regel). For eksempel bruges den hele tiden af statistikere, når de approximerer områder under normalkurven. Værdierne for et specielt antiderivativ af standard Normal kurven er ofte angivet i en tabel i statistiske bøger.

I tilfælde hvor # F # har negative værdier, skal det konkrete integral overvejes i form af "underskrevne områder".