Sådan løses 3sin2x + 2cos2x = 3? Er det muligt at konvertere det til sinx = k?

Svar:

# x = 45 ^ circ + 180 ^ circ k # eller #x = arctan (3/2) - 45 ^ circ + 180 ^ circ k #

eller hvis du foretrækker en tilnærmelse, # x = 45 ^ circ + 180 ^ circ k # eller #x ca. 11.31 ^ circ + 180 ^ circ k #

selvfølgelig for heltal # K #.

Forklaring:

Pro tip: Det er bedre at vende disse til formularen #cos x = cos a # som har løsninger #x = pm a + 360 ^ circ k quad # for heltal # K #.

Denne ene handler allerede om # 2x # så det er lettere at forlade det sådan.

Lineære kombinationer af sinus og cosinus af samme vinkel er faseskiftede cosines.

# 3 sin (2x) + 2 cos (2x) = 3 #

# sqrt {13} (2 / sqrt {13} cos (2x) + 3 / sqrt {13) sin (2x)) = 3 #

# 2 / sqrt {13} cos (2x) + 3 / sqrt {13) sin (2x) = 3 / sqrt {13} #

Lad os lade # theta = arctan (3/2) ca. 56.31 ^ cirkel #

Vi mener virkelig den ene i den første kvadrant.

(Hvis vi ønskede at gøre sinus i stedet for cosinus som vi laver, ville vi bruge #arctan (2/3) #.)

Vi har #cos theta = 2 / sqrt {13} # og #sin theta = 3 / sqrt {13}. #

# cos theta cos (2x) + sin theta sin (2x) = sin theta #

# cos (2x - theta) = cos (90 ^ circ - theta) #

# 2x - theta = pm (90 ^ circ-theta) + 360 ^ circ k #

# 2x = theta pm (90 ^ circ-theta) + 360 ^ circ k #

# x = theta / 2 pm (45 ^ circ - theta / 2) + 180 ^ circ k #

# x = 45 ^ circ + 180 ^ circ k # eller #x = theta - 45 ^ circ + 180 ^ circ k #

# x = 45 ^ circ + 180 ^ circ k # eller #x = arctan (3/2) - 45 ^ circ + 180 ^ circ k #

Siden #56.31-45 = 11.31#

# x = 45 ^ circ + 180 ^ circ k # eller #x ca. 11.31 ^ circ + 180 ^ circ k #