Hvad er f (x) = int e ^ xcosx-tan ^ 3x + sinx dx hvis f (pi / 6) = 1?

Svar:

# E ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2sec ^ 2 (x) -cos (x) +5 / 3 + sqrt3 / 2- (1 / 4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

Forklaring:

Vi begynder med at opdele integralet i tre:

#int e ^ xcos (x) dx-int tan ^ 3 (x) dx + int sin (x) dx = #

# = int e ^ xcos (x) dx-int tan ^ 3 (x) dx-cos (x) #

Jeg vil kalde den venstre integral Integral 1 og den rigtige Integral 2

Integral 1

Her har vi brug for integration af dele og et lille trick. Formlen for integration af dele er:

(x) g (x) dx = f (x) g (x) -int f '

I dette tilfælde vil jeg lade #F (x) = e ^ x # og #g '(x) = cos (x) #. Vi får det

#F '(x) = e ^ x # og #g (x) = sin (x) #.

Dette gør vores integral:

#int e x xcos (x) dx = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin (x) dx #

Nu kan vi anvende integration af dele igen, men denne gang med #g '(x) = sin (x) #:

(x) (x) - (- e ^ xcos (x) - (- int e ^ xcos (x) dx)) #int xxcos

(x) -int e ^ xcos (x) dx #

Nu kan vi tilføje integreret til begge sider og give:

# 2int xxcos (x) dx = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) #

(x) + xcos (x)) + C = #

# = E ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) + C #

Integral 2

Vi kan først bruge identiteten:

#tan (theta) = sin (theta) / cos (theta) #

Dette giver:

#int tan ^ 3 (x) dx = int sin ^ 3 (x) / cos ^ 3 (x) dx = int (sin (x) sin ^ 2 (x)) / cos ^ 3) dx #

Nu kan vi bruge den pythagoreanske identitet:

# Sin ^ 2 (theta) = 1-cos ^ 2 (theta) #

#int (sin (x) (1-cos ^ 2 (x))) / cos ^ 3 (x) dx #

Nu kan vi introducere en u-substitution med # U = cos (x) #. Vi deler derefter ved derivatet, # -Sin (x) # at integrere med hensyn til # U #:

# -int (annullér (sin (x)) (1-cos ^ 2 (x))) / (annullér (sin (x)) cos ^ 3 (x)) du = 2) / u ^ 3 du = int u ^ 2 / u ^ 3-1 / u ^ 3 du = #

1 = (2u ^ 2) + C = ln | cos (x) | + 1 / (2cos ^ 2 (x)) + C #

Afslutter det oprindelige integral

Nu hvor vi kender Integral 1 og Integral 2, kan vi sætte dem tilbage i det oprindelige integreret og forenkle for at få det endelige svar:

# E ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2sec ^ 2 (x) -cos (x) + C #

Nu hvor vi kender antiderivative, kan vi løse for konstanten:

#F (pi / 6) = 1 #

# E ^ (pi / 6) / 2 (sin (pi / 6) + cos (pi / 6)) - ln | cos (pi / 6) | -1 / 2sec ^ 2 (pi / 6) -cos (pi / 6) + C = 1 #

# -2/3-sqrt (3) / 2 + 1/2 (1/2 + sqrt (3) / 2) e ^ (pi / 6) -ln (sqrt (3) / 2) + C = 1 #

# C = 1 + 2/3 + sqrt3 / 2- (1/4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

# C = 5/3 + sqrt3 / 2- (1/4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

Dette giver, at vores funktion er:

# E ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2sec ^ 2 (x) -cos (x) +5 / 3 + sqrt3 / 2- (1 / 4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #