Hvordan vælger man to tal, hvor summen af deres firkantede rødder er minimal, idet man ved, at produktet af de to tal er en?

Svar:

# x = y = sqrt (a) #

Forklaring:

# x * y = a => x * y - a = 0 #

#f (x, y) = sqrt (x) + sqrt (y) "er minimal" #

# "Vi kunne arbejde med Lagrange multiplikator L:" #

#f (x, y, L) = sqrt (x) + sqrt (y) + L (x * y-a) #

# "Afledte udbytter:" #

# {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * y = 0 #

# {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (y)) + L * x = 0 #

# {df} / {dL} = x * y-a = 0 #

# => y = a / x #

# => {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (a / x)) + L * x = 0 #

# = sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) + L * x = 0 #

# => {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * a / x = 0 #

# => sqrt (x) / 2 + L * a = 0 "(efter multiplicering med x"! = "0)" #

# => L = - sqrt (x) / (2 * a) #

# => sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) - sqrt (x) * x / (2 * a) = 0 #

# => 1 / (2 * sqrt (a)) - x / (2 * a) = 0 #

# => x = sqrt (a) #

# => y = sqrt (a) #

# => L = -a ^ (1/4) / (2 * a) <0 => "MINIMUM" #

# "Nu skal vi stadig kontrollere x = 0". #

# "Dette er umuligt som x * y = 0 da." #

# "Så vi har den unikke løsning" #

# x = y = sqrt (a) #

Svar:

Jeg vil forsøge at tage dig gennem løsningsmetoden nedenfor.

Forklaring:

Hvad søger vi efter?

To numre. Lad os give dem navne, #x# og # Y #.

Gentag spørgsmålet.

Vi ønsker at gøre summen af de firkantede rødder minimal.

Dette fortæller os to ting

(1) begge tal er ikke-negative (for at undgå imaginaries)

(2) Vi er interesserede i værdien af # Sqrtx + sqrty #

Gentag spørgsmålet.

Vi får også at vide, at produktet af #x# og # Y # er #en#.

Hvem vælger #en#?

Generelt, hvis en øvelse siger noget om #en# eller # B # eller # C #, vi tager dem som konstanter givet af en anden.

Så vi kan blive fortalt "produktet af #x# og # Y # er #11#'

eller "produktet af #x# og # Y # er #124#'.

Vi skal løse alle disse på én gang ved at sige # Xy = en # for nogle konstante #en#.

Så vi vil lave # Sqrtx + sqrty # så lille som muligt at holde # Xy = en # for nogle konstante #en#.

Det ligner et optimeringsproblem, og det er et. Så jeg vil have en funktion af en variabel for at minimere.

# Sqrtx + sqrty # har to variabler, #x# og # Y #

# Xy = en # har også to variabler, #x# og # Y # (Husk #en# er en konstant)

Så #y = a / x #

Nu vil vi minimere:

#f (x) = sqrtx + sqrt (a / x) = sqrtx + sqrta / sqrtx #

Find derivatet, derefter det kritiske nummer (r) og test det kritiske nummer (r). Afslut være at finde # Y #.

#f '(x) = (x-sqrta) / (2x ^ (3/2)) #

Kritisk # Sqrta #

#f '(x) <0 # til #x <sqrta # og #f '(x)> 0 # til #x> sqrta #, så #F (sqrta) # er et minimum.

#x = sqrta # og #y = a / x = sqrta #

Svar:

# 2 rod (4) (a) #

Forklaring:

Vi ved det for #x_i> 0 # vi har

# (x_1 x_2 cdots x_n) ^ {frac {1} {n}} le frac {x_1 + x_2 + cdots + x_n} {n} #

derefter

# x_1 + x_2 ge 2 sqrt (x_1 x_2) # derefter

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge 2 root (4) (x_1x_2) #

men # x_1x_2 = a # derefter

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge 2 root (4) (a) #