Mere om mekanik?

Svar:

Se nedenunder.

Forklaring:

Vi bruger den såkaldte Euler Lagrange formulering

# d / dt ((partialL) / (partial dot q_i)) - (partial L) / (partial q_i) = Q_i #

hvor #L = T-V #. I denne øvelse har vi # V = 0 # så #L = T #

Ringer # X_a # midten af venstre cylinderkoordinat og # X_b # den rigeste, vi har

# x_b = x_a + R costheta + Lcosalpha #

Her # Sinalpha = R / Lsintheta # således at erstatte # Alfa #

# x_b = x_a-R costheta + sqrt L ^ 2 - R ^ 2 sin ^ 2theta #

nu udlede

#dot x_b = dot x_a + Rsin (theta) dot theta - ((R ^ 2cos (theta) sin (theta)) / sqrt (L ^ 2-R ^ 2in ^ 2 (theta))) dot theta #

men

# T = 1 / 2J (omega_a ^ 2 + omega_b ^ 2) + 1 / 2m (v_a ^ 2 + v_b ^ 2)

Her # J # er inerti momentum vedrørende massecenteret. Også,

# v_a = dot x_a = R dot theta #

#omega_a = dot theta #

Så efter substitutioner og kald #xi (theta) = 1- (Rcos (theta)) / sqrt (L ^ 2-R ^ 2sin ^ 2 (theta)) # vi har

T = 1/2 (J + mR ^ 2) (1 + (1 + sin (theta) xi (theta)) 2) dot theta ^ 2 #

Vi valgte # Theta # som den generaliserede koordinat. Så vi vil reducere # F # aktivering i koordinaten #x# til en tilsvarende kraft i # Theta #. Denne koordinats handlinger ruller klogt, så vi har brug for en generaliseret momentum vedrørende kontaktpunktet i gulvet, hvilket er

#Q_ (theta) = FR (1 + sintheta) #

Bevægelsesligningerne opnås efter

# (J + mR ^ 2) ((1 + sin (theta) xi (theta)) (cos (theta) xi (theta) + sin (theta) xi '(theta)) dot theta ^ 2 + 1 + sin (theta) xi (theta)) 2) ddot theta) = FR (1 + sin (theta)) # nu løse for #ddot theta #

# Ddottheta = (FR (1 + sin (theta)) - (J + mR ^ 2) (1 + sin (theta) xi (theta)) (cos (theta) xi (theta) + sin (theta) xi '(theta)) dottheta ^ 2) / ((J + mR ^ 2) (1 + (1 + sin (theta) xi (theta)) ^ 2)) #

Vedlagt to tomter. Den første viser # Theta # evolution og den anden er for # Dottheta #

Værdi af parametre:

# R = 0,5, J = 1, m = 1, L = 2 # Den påførte kraft er vist i dased rød.