Vær venlig at løse q 11?

Svar:

Find minimumsværdien af # 4 cos theta + 3 sin theta. #

Den lineære kombination er en faseskiftet og skaleret sinusbølge, skalaen bestemmes af størrelsen af koefficienterne i polarform, # sqrt {3 ^ 2 + 4 ^ 2} = 5, # så et minimum af #-5#.

Forklaring:

Find minimumsværdien af # 4 cos theta + 3 sin theta #

Den lineære kombination af sinus og cosinus af samme vinkel er en faseforskydning og en skalering. Vi anerkender Pythagorean Triple #3^2+4^2=5^2.#

Lade # Phi # Vær vinklen sådan #cos phi = 4/5 # og #sin phi = 3/5 #. Vinklen # Phi # er hovedværdien af #arctan (3/4) # men det betyder ikke rigtig noget for os. Hvad der betyder noget for os, er, at vi kan omskrive vores konstanter: # 4 = 5 cos phi # og # 3 = 5 sin phi #. Så

# 4 cos theta + 3 sin theta #

# = 5 (cos phi cos theta + sin phi sin theta) #

# = 5 cos (theta-phi) #

så har et minimum af #-5#.

Svar:

#-5# er den krævede minimumsværdi.

Forklaring:

Opdel ligningen # 3sinx + 4cosx # ved #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # at reducere det til formularen #sin (x + -alpha) eller cos (x + -alpha) # hvor #en# og # B #

er koefficienterne for # Sinx # og # Cosx # henholdsvis.

# Rarr3sinx + 4cosx #

# = 5 sinx * (3/5) + cosx * (4/5) #

Lade # Cosalpha = 3/5 # derefter # Sinalpha = 4/5 #

Nu, # 3sinx + 4cosx #

# = 5 sinx * cosalpha + cosx * sinalpha #

# = 5sin (x + alfa) = 5sin (x + alfa) #

Værdien af # 5sin (x + alfa) # vil være minimum når #sin (x + -a #) er minimum og minimumsværdien af #sin (x + alfa) # er #-1#.

Så minimumsværdien af # 5sin (x + alfa) = - 5 #