Hvordan finder du antivivative af dx / (cos (x) - 1)?

Svar:

Gør nogle konjugerede multiplikationer, anvend noget trig og afslut for at få et resultat af # Int1 / (cosx-1) dx = cscx + cotx + C #

Forklaring:

Som med de fleste problemer af denne type, løser vi det ved hjælp af et konjugatmultiplikationstrik. Når du har noget opdelt af noget plus / minus noget (som i # 1 / (cosx-1) #), er det altid nyttigt at prøve konjugatmultiplikation, især med trig-funktioner.

Vi begynder med at multiplicere # 1 / (cosx-1) # af konjugatet af # Cosx-1 #, som er # Cosx + 1 #:

# 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) #

Du kan undre dig over, hvorfor vi gør det her. Det er så vi kan anvende forskellen på kvadrater ejendom, # (A-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 #, i nævneren, for at forenkle det lidt. Tilbage til problemet:

# 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) = (cosx + 1) / ((cosx-1) (cosx + 1)) #

# (Underbrace (cosx) -underbrace (1)) (underbrace (cosx) + underbrace1)) #

#COLOR (hvid) (III) acolor (hvid) (XXX) bcolor (hvid) (XXX) acolor (hvid) (XXX) b #

Bemærk hvordan dette er i det væsentlige # (A-b) (a + b) #.

# = (Cosx + 1) / (cos ^ 2x-1) #

Hvad med # cos ^ 2x-1 #? Nå ved vi det # Sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #. Lad os formere det ved #-1# og se hvad vi får:

# -1 (sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x) -> - sin ^ 2x = -1 + cos ^ 2x #

# = Cos ^ 2-1 #

Det viser sig at # -Sin ^ 2x = cos ^ 2x-1 #, så lad os erstatte # cos ^ 2x-1 #:

# (Cosx + 1) / (- synd ^ 2x #

Dette svarer til # Cosx / -sin ^ 2x + 1 / -sin ^ 2x #, som ved hjælp af noget trig koger ned til # -Cotxcscx-csc ^ 2x #.

På dette tidspunkt har vi forenklet integrationen # Int1 / (cosx-1) dx # til # Int-cotxcscx-csc ^ 2xdx #. Ved hjælp af sumregelen bliver dette:

# Int-cotxcscxdx + int-csc ^ 2xdx #

Den første af disse er # Cscx # (fordi derivatet af # Cscx # er # -Cotxcscx #) og den anden er # Cotx # (fordi derivatet af # Cotx # er # -Csc ^ 2x #). Tilføj på integrationens konstant # C # og du har din løsning:

# Int1 / (cosx-1) dx = cscx + cotx + C #

Vis at cos²π / 10 + cos²4π / 10 + cos² 6π / 10 + cos²9π / 10 = 2. Jeg er lidt forvirret, hvis jeg laver Cos²4π / 10 = cos² (π-6π / 10) og cos²9π / 10 = cos² (π-π / 10), bliver den negativ som cos (180 ° -theta) = - costheta in den anden kvadrant. Hvordan går jeg med at bevise spørgsmålet?

Se nedenfor. LHS = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((6pi) / 10) + cos ^ 2 ((9pi) / 10) = cos ^ 2 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) = 2 * [cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [cos ^ 2 (pi / 2- (4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [sin ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * 1 = 2 = RHS

Prisen på kuglepenne varierer direkte med antallet af kuglepenne. En pen koster $ 2,00. Hvordan finder du k i ligningen for prisen på pennerne, brug C = kp, og hvordan finder du den samlede pris på 12 penn?

Samlede omkostninger på 12 penne er $ 24. C prop p:. C = k * p; C = 2,00, p = 1:. 2 = k * 1:. k = 2:. C = 2p {k er konstant] p = 12, C =? C = 2 * p = 2 * 12 = $ 24,00 I alt koster 12 penner $ 24,00. [Ans]

Hvad er den antivivative af ln x?

Intlnxdx = xlnx-x + C Den integrerede (antiderivative) af lnx er en interessant, fordi processen for at finde den ikke er, hvad du ville forvente. Vi bruger integration af dele for at finde intlnxdx: intudv = uv-intvdu Hvor u og v er funktioner af x. Her lader vi: u = lnx -> (du) / dx = 1 / x-> du = 1 / xdx og dv = dx-> intdv = intdx-> v = x Gør nødvendige substitutioner i integrationen med delformel, vi har: intlnxdx = (lnx) (x) -int (x) (1 / xdx) -> (lnx) (x) -intcancel (x) (1 / cancelxdx) = xlnx-int1dx = xlnx-x + C- > (glem ikke integrationens konstant!)