Find området i den skraverede region?

Svar:

Se nedenfor.

Forklaring:

Når vi først lærer at finde områder ved integration, tager vi repræsentative rektangler lodret.

Rektanglerne har base # Dx # (en lille ændring i #x#) og højder svarende til de større # Y # (den ene på den øvre kurve) minus det mindste # Y # værdi (den ene på den nederste kurve). Vi integrerer så fra det mindste #x# værdi til de største #x# værdi.

Til dette nye problem kunne vi bruge to sådanne intergrals (Se svaret fra Jim S), men det er meget værdifuldt at lære at vende vores tankegang #90^@#.

Vi vil tage repræsentative rektangler horiontalt.

Rektanglerne har højde #D y# (en lille ændring i # Y #) og baser svarende til de større #x# (den ene på den højeste kurve) minus det mindste #x# værdi (den ene til venstre). Vi integrerer så fra det mindste # Y # værdi til de største # Y # værdi.

Bemærk dualiteten

# {:("lodret", iff, "vandret"), (dx, iff, dy), ("øvre", iff, "højre"), ("lavere", iff, "venstre"), iff, y):} #

Udtrykket "fra den mindste #x# værdi til de største #x# værdi. "indikerer at vi integrerer venstre til højre. (I retning af at øge #x# værdier.)

Udtrykket "fra den mindste # Y # værdi til de største # Y # værdi. "Indikerer at vi integrerer bunden til toppen. (I retning af at øge # Y # værdier.)

Her er et billede af regionen med et lille rektangel angivet:

Området er

# int_1 ^ 2 (y-1 / y ^ 2) dy = 1 #

Svar:

Arealet af den skyggede region er # 1m ^ 2 #

Forklaring:

# X = 1 / y ^ 2 #

# Y ^ 2 = 1 / x #

# Y = sqrtx / x # (vi kan se fra grafen)

# Sqrtx / x = x # #<=># # X ^ 2 = sqrtx # #<=>#

# X ^ 4-x = 0 # #<=># #x (x ^ 3-1) = 0 # #<=># # X = 1 # (vi kan også se fra grafen)

På mange måder kan området af den skraverede region udtrykkes, være som området for trekanten # AhatOB = Ω # undtagen det cyanområde, som jeg vil ringe til #COLOR (cyan) (Ω_3) #

Lade #Ω_1# Vær det sorte område vist i grafen og #COLOR (grøn) (Ω_2) # det grønne område vist i grafen.

Området af den lille trekant # ChatAD = # #COLOR (grøn) (Ω_2) # vil være:

• #COLOR (grøn) (Ω_2) = ## 1/2 * 1 * 1 = 1 / 2m ^ 2 #

# Sqrtx / x = 2 # #<=># # Sqrtx = 2x # #<=># # X = 4x ^ 2 #

#<=># # X = 1/4 #

Området af #Ω_1# vil være:

#int_ (1/4) ^ 1 (2-sqrtx / x) dx = 2 x _ (1/4) ^ 1-2 sqrtx _ (1/4) ^ 1 = #

# 2 (1-1 / fire) -2 (1-sqrt (1/4)) = 6 / 4-2 (1-1 / 2) #

# = 3 / 2-1 = 1 / 2m ^ 2 #

Som et resultat vil det skyggede område være

• #Ω_1## + Farve (grøn) (Ω_2) ## = 1/2 + 1/2 = 1m ^ 2 #