Hvordan løser du systemet x ^ 2 + y ^ 2 = 9 og x-3y = 3?

Svar:

Der er to løsninger på dette system: punkterne #(3,0)# og #(-12/5, -9/5)#.

Forklaring:

Dette er et interessant system af ligninger problem, fordi det giver mere end en løsning per variabel.

Hvorfor dette sker, er noget, vi kan analysere lige nu. Den første ligning er standardformularen for en cirkel med radius #3#. Andet er en lidt rodet ligning for en linje. Ryddet op, det ville se sådan ud:

#y = 1/3 x - 1 #

Så naturligvis, hvis vi mener, at en løsning på dette system vil være et punkt, hvor linjen og cirklen skærer hinanden, bør vi ikke blive overrasket over at lære at der er to løsninger. En, når linjen kommer ind i cirklen, og en anden, når den forlader. Se denne graf:

graf {(x ^ 2 + y ^ 2 - 9) ((1/3) x -1-y) = 0 -10, 10, -5, 5}

Først begynder vi ved at manipulere den anden ligning:

#x - 3y = 3 #

#x = 3 + 3y #

Vi kan indsætte dette direkte i den første ligning for at løse # Y #:

# x ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# (3 + 3y) ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# 9 + 18y + 9y ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# 18y + 10y ^ 2 = 0 #

#y (9 + 5y) = 0 #

Denne ligning har naturligvis to løsninger. En til #y = 0 # og en anden til # 9 + 5y = 0 # hvilket betyder #y = -9 / 5 #.

Nu kan vi løse for #x# på hver af disse # Y # værdier.

Hvis # Y = 0 #:

#x - 3 * 0 = 3 #

#x = 3 #

Hvis #y = -9 / 5 #:

#x + 3 * (9/5) = 3 #

#x + 27/5 = 15/5 #

#x = -12 / 5 #

Så vores to løsninger er punkterne: #(3,0)# og #(-12/5, -9/5)#. Hvis du ser tilbage til grafen, kan du se, at disse klart svarer til de to punkter, hvor linjen krydsede cirklen.