Ved hjælp af definitionen af konvergens, hvordan viser du at sekvensen {2 ^ -n} konvergerer fra n = 1 til uendelig?

Svar:

Brug egenskaberne af den eksponentielle funktion til at bestemme N som f.eks # | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon # for hver # m, n> N #

Forklaring:

Definitionen af konvergens angiver, at # {A_n} # konvergerer hvis:

#AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon #

Så givet #epsilon> 0 # tage #N> log_2 (1 / epsilon) # og # m, n> N # med #m <n #

Som #m <n #, # (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 # så # | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) #

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1- 2 ^ (m-n)) #

Nu som # 2 ^ x # er altid positiv, # (L-2 ^ (m-n)) <1 #, så

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) #

Og som # 2 ^ (- x) # er strengt faldende og #m> N> log_2 (1 / epsilon) #

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) <2 ^ (-N) <2 ^ (- log_2 (1 / epsilon)

Men:

# 2 ^ (- log_2 (1 / epsilon)) = 2 ^ (log_2 (epsilon)) = epsilon #

Så:

# | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | <epsilon #

Quod erat demonstrandum