Hvordan bruger du Integraltest til at bestemme konvergens eller divergens i serien: sum n e ^ -n fra n = 1 til uendelig?

Svar:

Tag integralet # Int_1 ^ ooxe ^ -xdx #, som er endelig og bemærke, at den grænser #sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n) #. Derfor er det konvergerende #sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n) # er lige så godt.

Forklaring:

Den formelle erklæring af integralprøven fastslår, at hvis #fin 0, oo) rightarrowRR # en monoton faldende funktion, som er ikke-negativ. Så summen #sum_ (n = 0) ^ oof (n) # er konvergent hvis og kun hvis # "Sup" _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx # er endelig. (Tau, Terence. Analyse I, anden udgave. Hindustan bogbureau. 2009).

Denne erklæring kan virke lidt teknisk, men ideen er følgende. I dette tilfælde tager funktionen #F (x) = xe ^ (- x) #, bemærker vi det for #x> 1 #, denne funktion er faldende. Vi kan se dette ved at tage derivatet. #F '(x) = e ^ (- x) -xe ^ (- x) = (1-x) e ^ (- x) <0 #, siden #x> 1 #, så # (1-x) <0 # og #E ^ (- x)> 0 #.

På grund af dette bemærker vi det for enhver #ninNN _ (> = 2) # og #x i 1, oo) # sådan at #x <= n # vi har #F (x)> = f (n) #. Derfor #int_ (n-1) ^ nf (x) dx> = int_ (n-1) ^ nf (n) dx = f (n) #, så #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) <= f (1) + sum_ (n = 2) ^ Nint_ (n-1) ^ nf (x) dx = f (1) + int_1 ^ Nf (x) dx #.

# Int_1 ^ oof (x) dx = int_1 ^ ooxe ^ (- x) dx = -int_ (x = 1) ^ ooxde ^ (- x) = - XE ^ (- x) | _1 ^ oo + int_1 ^ OOE ^ (-x) dx ## = - XE ^ (- x) -e ^ (- x) | ^ oo_1 = 2 / e # bruger integration af dele og det #lim_ (xrightarrowoo) e ^ -x = lim_ (xrightarrowoo) XE ^ -x = 0 #.

Siden #F (x)> = 0 #, vi har # E / 2 = int_1 ^ oof (x) dx> = int_1 ^ Nf (x) dx #, så #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) <= f (1) + 2 / e = 3 / e #. Siden #F (n)> = 0 #, serien #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) # stiger som # N # stiger. Da det er afgrænset af # 3 / e #, det skal konvergere. Derfor #sum_ (n = 1) ^ oof (n) # konvergerer.