Hvad er integralet af (ln (xe ^ x)) / x?

Svar:

# Int # #ln (xe ^ x) / (x) dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Forklaring:

Vi får:

# Int # #ln (xe ^ x) / (x) dx #

Ved brug af #ln (ab) = ln (a) + ln (b) #:

# = Int # # (ln (x) + ln (e ^ x)) / (x) dx #

Ved brug af #ln (a ^ b) = bln (a) #:

# = Int # # (ln (x) + xln (e)) / (x) dx #

Ved brug af #ln (e) = 1 #:

# = Int # # (ln (x) + x) / (x) dx #

Opdeling af fraktionen (# x / x = 1 #):

# = Int # # (ln (x) / x + 1) dx #

At adskille de opsummerede integraler:

# = Int # #ln (x) / xdx + int dx #

Det andet integral er simpelthen #x + C #, hvor # C # er en vilkårlig konstant. Det første integral, vi bruger # U #substitution:

Lade #u equiv ln (x) #derfor #du = 1 / x dx #

Ved brug af # U #substitution:

# = int udu + x + C #

Integration (den vilkårlig konstant # C # kan absorbere den vilkårlig konstant af det første ubestemte integral:

# = u ^ 2/2 + x + C #

Udskiftning i forhold til #x#:

# = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Svar:

#int ln (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Forklaring:

Vi begynder med at bruge følgende logaritme identitet:

#ln (ab) = ln (a) + ln (b) #

Ved at anvende dette til integralet får vi:

#int (ln (xe ^ x)) / x dx = int ln (x) / x + ln (e x) / x dx = #

# = int ln (x) / x + x / x dx = int ln (x) / x + 1 dx = int ln (x) / x dx + x #

For at evaluere det resterende integral bruger vi integration af dele:

(x) g (x) dx = f (x) g (x) -int f '

Jeg vil lade #F (x) = ln (x) # og #g '(x) = 1 / x #. Vi kan derefter beregne det:

#F '(x) = 1 / x # og #g (x) = ln (x) #

Vi kan så anvende integrationen med delformel for at få:

#int ln (x) / x dx = ln (x) * ln (x) -int ln (x) / x dx #

Da vi har integreret på begge sider af ligestegnet, kan vi løse det som en ligning:

# 2int ln (x) / x dx = ln ^ 2 (x) #

#int ln (x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + C #

Plugging tilbage til det oprindelige udtryk, får vi vores endelige svar:

#int ln (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Hvad er integralet af int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx?

Int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C Vores store problem i dette integral er roden, så vi vil slippe af med det. Vi kan gøre dette ved at indføre en substitution u = sqrt (2x-1). Derivatet er så (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) Så vi deler gennem (og husk at dividere ved en gensidig er det samme som at multiplicere med kun nævneren) for at integrere med hensyn til u: int x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / annullere (sqrt (2x-1)) annullere (sqrt (2x-1)) du = int x ^ 2-1 du Nu er alt, hvad vi skal gøre, udtrykt x ^ 2 med hensyn t

Hvad er integralet af int (1 + e ^ (2x)) ^ (1/2) dx?

1/2 [-ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) + 1)) + ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) - 1))] + sqrt (1 + e ^ (2x)) + C Først erstatter vi: u = e ^ (2x) +1; e ^ (2x) = u-1 (du) / (dx) = 2e ^ (2x); dx = 2e ^ (2x)) intsqrt (u) / (2e ^ (2x)) du = intsqrt (u) / (2 (u-1)) du = 1 / 2intsqrt (u) / (u-1) anden substitution: v ^ 2 = u; v = sqrt (u) 2v (dv) / (du) = 1; du = 2vdv 1 / 2intv / (v ^ 2-1) 2vdv = intv ^ 2 / (v ^ 2 -1) (v + 1) (v-1)) = A / (v + 1) + B / (v-1) 1) 1 = A (v-1) + B (v + 1) v = 1: 1 = 2B, B = 1/2 v = -1: 1 = -2A, A = -1 / 2 Nu har vi: -1 / (2 (v + 1)) + 1 / (2 (v-1)) int1 + 1 / ((v + 1) (v-1)) dv = int1-1 / (2 (v + 1 ) +

Hvad er integralet af 2e ^ (2x)?

Int 2e ^ (2x) dx = e ^ (2x) + C int 2e ^ (2x) dx = 2 int e ^ (2x) dx = annuller2 e ^ (2x) / annullér2 + C = e ^ (2x) + C hvor C er en vilkårlig integrationskonstant.