Hvad er integralet af int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx?

Svar:

(2x-1) / dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) - 3 / 4sqrt (2x-1) + C #

Forklaring:

Vores store problem i dette integral er roden, så vi vil slippe af med det. Det kan vi gøre ved at indføre en substitution # U = sqrt (2x-1) #. Derivatet er da

# (Du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) #

Så vi opdeler gennem (og husk at opdeling af gensidige er det samme som at multiplicere med kun nævneren) for at integrere med hensyn til # U #:

#int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / annullere (sqrt (2x-1)) annullere (sqrt (2x-1)) = int x ^ 2-1 du #

Nu er alt, hvad vi skal gøre, at udtrykke # X ^ 2 # med hensyn til # U # (da du ikke kan integrere #x# med respekt for # U #):

# U = sqrt (2x-1) #

# U ^ 2 = 2x-1 #

# U ^ 2 + 1 = 2x #

# (U ^ 2 + 1) / 2 = x #

# X ^ 2 = ((u ^ 2 + 1) / 2) ^ 2 = (u ^ 2 + 1) ^ 2/4 = (u ^ 4 + 2u ^ 2 + 1) / 4 #

Vi kan tilslutte dette til vores integral for at få:

#int (u ^ 4 + 2u ^ 2 + 1) / 4-1 du #

Dette kan vurderes ved hjælp af reverse power regel:

# 1/4 * u ^ 5/5 + 2/4 * u ^ 3/3 + u / 4-u + C #

Genoprette for # U = sqrt (2x-1) #, vi får:

# 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C #