Lad P (x_1, y_1) være et punkt og lad l være linjen med ligning ax + ved + c = 0.Vis afstanden d fra P-> l er givet af: d = (ax_1 + by_1 + c) / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)? Find afstanden d af punktet P (6,7) fra linjen l med ligning 3x + 4y = 11?

Svar:

#d = 7 #

Lade # l-> a x + b y + c = 0 # og # p_1 = (x_1, y_1) # et punkt ikke på # L #.

Antag det #b ne 0 # og ringer # D ^ 2 = (x-x_1) ^ 2 + (y-y_1) ^ 2 # efter udskiftning #y = - (a x + c) / b # ind i # D ^ 2 # vi har

# d ^ 2 = (x - x_1) ^ 2 + ((c + a x) / b + y_1) ^ 2 #. Det næste trin er at finde # D ^ 2 # minimum vedrørende #x# så vi finder #x# sådan at

# d / (dx) (d ^ 2) = 2 (x - x_1) - (2a ((c + a x) / b + y_1)) / b = 0 #. Dette forekommer for

#x = (b ^ 2 x_1 - a b y_1-a c) / (a ^ 2 + b ^ 2) # Nu erstatter denne værdi i # D ^ 2 # vi får

# d ^ 2 = (c + a x_1 + b y_1) ^ 2 / (a ^ 2 + b ^ 2) # så

#d = (c + a x_1 + b y_1) / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #

Nu givet

# L-> 3x + 4y-11 = 0 # og # P_1 = (6,7) # derefter

#d = (-11 + 3xx6 + 4xx7) / sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = 7 #