Hvordan finder du området afgrænset af kurverne y = -4sin (x) og y = sin (2x) over det lukkede interval fra 0 til pi?

Svar:

Vurdere

# Int_0 ^ π | -4sin (x) -sin (2x) | dx #

Området er: #8#

Forklaring:

Området mellem to kontinuerlige funktioner #F (x) # og #g (x) # over #x i a, b # er:

# Int_a ^ b | f (x) -g (x) | dx #

Derfor skal vi finde hvornår #F (x)> g (x) #

Lad kurverne være funktionerne:

#F (x) = - 4sin (x) #

#g (x) = sin (2x) #

#F (x)> g (x) #

# -4sin (x)> sin (2x) #

At vide det #sin (2x) = 2sin (x) cos (x) #

# -4sin (x)> 2sin (x) cos (x) #

Opdele ved #2# hvilket er positivt:

# -2sin (x)> sin (x) cos (x) #

Opdele ved # Sinx # uden at vende skiltet, siden #sinx> 0 # for hver #x i (0, π) #

# -2> cos (x) #

Det er umuligt, da:

# -1 <= cos (x) <= 1 #

Så den oprindelige erklæring kan ikke være sandt. Derfor, #F (x) <= g (x) # for hver #x i 0, π #

Integralet er beregnet:

# Int_a ^ b | f (x) -g (x) | dx #

# Int_0 ^ π (g (x) -f (x)) dx #

# Int_0 ^ π (sin (2x) - (- 4sin (x))) dx #

# Int_0 ^ π (sin (2x) + 4sin (x)) dx #

# Int_0 ^ πsin (2x) dx + 4int_0 ^ πsin (x) #

# -1/2 cos (2x) _ 0 ^ π-4 cos (x) _ 0 ^ π #

# -1/2 (cos2π-cos0) -4 (cosπ-cos0) #

#1/2*(1-1)-4*(-1-1)#

#8#