X ^ 6 - 5x ^ 3 + 8 ................ (faktorisering)?

Svar:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 = #

# (X ^ 2- (alpha + bar (alfa)) x + 2) (x ^ 2- (omegaalpha + omega ^ 2 bar (alfa)) x + 2) (x ^ 2- (omega ^ 2alpha + omegabar (alfa)) x + 2) #

som beskrevet nedenfor …

Forklaring:

Advarsel:

Dette svar kan meget vel være mere avanceret end du forventes at vide.

Noter

Det er muligt at forenkle og finde:

# alpha + bar (alpha) = 1/2 (1 + sqrt (21)) #

# omegaalpha + omega ^ 2bar (alfa) = 1/2 (1-sqrt (21)) #

# omega ^ 2alpha + omegabar (alfa) = -1 #

men det er ikke (endnu) klart for mig, hvor bedst det er at gøre dette.

Svar:

# X ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

x = 2 + (- 1/2 + sqrt (21) / 2) x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2-sqrt (21) / 2) x + 2) #

Forklaring:

Her er en enklere metode …

Givet:

# X ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

Se efter en faktorisering af formularen:

# X ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# x (x ^ 2 + alax + 2) (x ^ 2 + betax + 2) (x ^ 2 + gammax + 2) #

# = X ^ 6 + (alfa + beta + gamma) x ^ 5 + (alphabeta + betagamma + gammaalpha + 6) x ^ 4 + (2 (alfa + beta + gamma) + alphabetagamma) x ^ 3 + (2 (alphabeta + betagamma + gammaalpha) +12) x ^ 2 + 4 (a + beta + gamma) x + 8 #

Ligestillingskoefficienter finder vi:

# {(alfa + beta + gamma = 0), (alfabet + betagamma + gammaalpha = -6), (alfabetisk = -5):}

Så #alpha, beta, gamma # er nulten af den kubiske:

# (X-a) (x-beta) (x-y) #

# = X ^ 3- (alfa + beta + gamma) x ^ 2 + (alphabeta + betagamma + gammaalpha) x-alphabetagamma #

# = X ^ 3-6 gange + 5 #

Bemærk at summen af koefficienterne for denne kubik er #0#. Det er #1-6+5 = 0#.

Derfor # X = 1 # er en nul og # (X-1) # en faktor:

# x ^ 3-6x + 5 = (x-1) (x ^ 2 + x-5) #

Nulerne af den resterende kvadratiske kan findes ved hjælp af den kvadratiske formel som:

#x = (-1 + -sqrt (1 ^ 2-4 (1) (- 5))) / (2 (1)) = 1/2 (-1 + -sqrt (21)) #

Så # {alpha, beta, gamma} = {1, -1/2 + sqrt (21) / 2, -1/2 sqrt (21) / 2} #

Så:

# X ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

x = 2 + (- 1/2 + sqrt (21) / 2) x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2-sqrt (21) / 2) x + 2) #

Bonus

Kan vi generalisere ovenstående afledning?

# X ^ 6 + px ^ 3 + q ^ 3 #

# = (X ^ 2 + alphax + q) (x ^ 2 + betax + q) (x ^ 2 + gammax + q) #

# = X ^ 6 + (alfa + beta + gamma) x ^ 5 + (alphabeta + betagamma + gammaalpha + 3q) x ^ 4 + (q (alfa + beta + gamma) + alphabetagamma) x ^ 3 + q (alphabeta + betagamma + gammaalpha + 3q) x ^ 2 + q ^ 2 (alfa + beta + gamma) x + q ^ 3 #

Ligestillingskoefficienter:

# {(alpha + beta + gamma = 0), (alfabet + betagamma + gammaalpha = -3q), (alphabetagamma = p):}

Derfor #alpha, beta, gamma # er nulten af:

# X ^ 3-3qx-p #

Så hvis vi kan finde tre reelle nuller af denne kubik, så har vi faktoriseringen af sextikken # X ^ 6 + px ^ 3 + q ^ 3 # ind i tre kvadrater med virkelige koefficienter.