Spørgsmål nr. 92256

Svar:

Se forklaring

Forklaring:

Bryd dette i to dele, for det første den indre del:

# E ^ x #

Dette er positivt og stigende for alle reelle tal og går fra 0 til # Oo # som #x# går fra # -Oo # til # Oo #

Vi har:

#arctan (u) #

Den har en ret vandret asymptote på # Y = pi / 2 #. Går fra # u = 0 rarr oo #, på # U = 0 # denne funktion er positiv og stigende over dette domæne, tager en værdi på 0 på # U = 0 #, en værdi af # Pi / 4 # på # U = 1 # og en værdi af # Pi / 2 # på # U = oo #.

Disse point bliver derfor trukket til # X = -oo, 0, oo # henholdsvis og vi ender med en graf, der ligner dette som et resultat:

graf {arctan (e ^ x) -10, 10, -1,5, 3}

Hvilket er den positive del af # Arctan # funktionen strækker sig over hele den reelle linje, hvor den venstre værdi strækker sig ind i en vandret asymptote på # Y = 0 #.

Svar:

Se forklaring

Forklaring:

Domæne er # RR #

symmetri

Hverken med hensyn til #x# akse eller w.r.t oprindelsen.

#arctan (e ^ (- x)) # forenkler ikke at #arctan (e ^ x) #

eller til # -Arctan (e ^ x) #

aflytninger

#x# aflytter: ingen

Vi kan ikke få #y = 0 # fordi det ville kræve # e ^ x = 0 #

Men # E ^ x # er aldrig #0#, det nærmer sig kun #0# som # Xrarr-oo #.

Så, # Yrarr0 # som # Xrarr-oo # og #x# akse os en vandret

asymptote til venstre.

# Y # opsnappe: # Pi / 4 #

Hvornår # X = 0 #, vi får #y = arctan (1) = pi / 4 #

asymptoter:

Lodret: ingen

# Arctan # er mellem # -Pi / 2 # og # Pi / 2 # per definition, så går aldrig til # Oo #

Vandret:

Venstre: # Y = 0 # som diskuteret ovenfor

Ret: # Y = pi / 2 #

Vi ved det som # Thetararrpi / 2 # med #theta <pi / 2 #, vi får #tantheta rarr oo #

ligesom # Xrarroo #, vi får # e ^ x rarroo #, så # y = arctan (e ^ x) rarr pi / 2 #

Første derivat

#y '= e ^ x / (1 + e ^ (2x)) # er aldrig #0# og aldrig udefineret, så der er ingen kritiske tal.

For hver #x# vi har #y '> 0 # så funktionen er stigende på # (- oo, oo) #

Der er ingen lokal ekstrem.

Andet derivat

# x '' = (e ^ x (1 + e ^ (2x)) - e ^ x (2e ^ (2x))) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

# = (e ^ x + e ^ (3x) -2e ^ (3x)) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

# = (E ^ x (1-e ^ (2x))) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

#Y '' # er aldrig udefineret, og det er det #0# på # X = 0 #

Tegn på #Y '' #:

På # (- oo, 0) #, vi får # e ^ (2x) <1 # så #y ''> 0 # og grafen er konkav

På # (0, oo) #, vi får # e ^ (2x)> 1 # så #y '' <0 # og grafen er konkav nedad

Koncaviteten ændres ved # X = 0 #, så bøjningspunktet er:

# (0, pi / 4) #

Skitse nu grafen