Hvad er int cos (7x + pi) -in (5x-pi)?

Svar:

# - (sin7x) / 7- (cos5x) / 5 + C #

Forklaring:

Før vi beregner integralet, lad os forenkle det trigonometriske udtryk ved hjælp af nogle trigonometriske egenskaber, vi har:

Anvendelse af ejendommen til # cos # der siger:

#cos (pi + alfa) = - cosalpha #

#cos (7x + pi) = cos (pi + 7x) #

Så, #COLOR (blå) (cos (7x + pi) = - cos7x) #

Anvendelse af to egenskaber af #synd# der siger:

#sin (-alfa) = - sinalpha #og

#sin (pi-alfa) = sinalpha #

Vi har:

#sin (5x-pi) = sin (- (pi-5x)) = - sin (pi-5x) # siden

#sin (-alfa) = - sinalpha #

# -Sin (pi-5x) = - sin5x #

Siden#sin (pi-alfa) = sinalpha #

Derfor, #COLOR (blå) (sin (5x-pi) = - sin5x) #

Første erstatning de forenklede svar beregner derefter integralet:

#COLOR (rød) (intcos (7x + pi) -sin (5x-pi) #

# = Int-cos (7x) - (- sin5x) #

# = Int-cos7x + sin5x #

# = - intcos7x + intsin5x #

#COLOR (rød) (= - (sin7x) / 7- (cos5x) / 5 + C # (hvor # C #er et konstant tal).

Vis at cos²π / 10 + cos²4π / 10 + cos² 6π / 10 + cos²9π / 10 = 2. Jeg er lidt forvirret, hvis jeg laver Cos²4π / 10 = cos² (π-6π / 10) og cos²9π / 10 = cos² (π-π / 10), bliver den negativ som cos (180 ° -theta) = - costheta in den anden kvadrant. Hvordan går jeg med at bevise spørgsmålet?

Se nedenfor. LHS = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((6pi) / 10) + cos ^ 2 ((9pi) / 10) = cos ^ 2 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) = 2 * [cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [cos ^ 2 (pi / 2- (4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [sin ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * 1 = 2 = RHS

Hvad er int (sin x) / (cos ^ 2x + 1) dx?

Int (sin (x)) / (cos ^ 2 (x) +1) dx = -arctan (cos (x)) + C Vi introducerer en u-substitution med u = cos (x). Deraf vil du være -in (x), så vi deler i det med at integrere med hensyn til u: int (sin (x)) / (cos ^ 2 (x) +1) dx = int Annuller (sin (x)) / (1 + u ^ 2) * 1 / (- annullér (sin (x))) dx = -int 1 / (1 + u ^ 2) du Dette er den velkendte arctan integral, hvilket betyder at resultatet er: -int 1 / (1 + u ^ 2) du = -arctan (u) + C Vi kan erstatte u = cos (x) for at få svaret i form af x: -arctan (cos (x)) + C

Hvad er integralet af int sin (x) ^ 3 * cos (x) dx?

= (sin ^ 4 (x)) / (4) + C int_ sin ^ 3 (x) * cos (x) dx Vi kan bruge substitution for at fjerne cos (x). Så lad os bruge synd (x) som vores kilde. u = sin (x) Hvilket betyder, at vi vil få, (du) / (dx) = cos (x) Find dx vil give, dx = 1 / cos (x) * du Nu erstatter det oprindelige integral med substitutionen, int_ u ^ 3 * cos (x) * 1 / cos (x) du Vi kan annullere cos (x) her, int_ u ^ 3 du = 1 / (3 + 1) u ^ (3 + 1) + C = 1/4 u ^ 4 + C Indstiller nu for dig, = sin (x) ^ 4/4 + C = sin ^ 4 (x) / 4 + C