Svar:
En ellipse
Forklaring:
Conics kan repræsenteres som
#p cdot M cdot p + << p, {a, b} >> + c = 0 #
hvor #p = {x, y} # og
#M = ((m_ {11}, m_ {12}), (m_ {21}, m_ {22})).
Til conics #m_ {12} = m_ {21} # derefter # M # egenværdier er altid rigtige, fordi matrixen er symmetrisk.
Det karakteristiske polynom er
#p (lambda) = lambda ^ 2- (m_ {11} + m_ {22}) lambda + det (M) #
Afhængigt af deres rødder kan keglen klassificeres som
1) Lige --- cirkel
2) Samme tegn og forskellige absolutte værdier --- ellipse
3) Tegn forskellige --- hyperbola
4) En null rod --- parabola
I det foreliggende tilfælde har vi
#M = ((4,0), (0,8)) #
med karakteristisk polynom
# Lambda ^ 2-12lambda + 32 = 0 #
med rødder #{4,8}# så vi har en ellipse.
At være en ellipse er der en kanonisk repræsentation for det
# ((X-x_0) / a) ^ 2 + ((y-y_0) / b) ^ 2 = 1 #
# X_0, y_0, a, b # kan bestemmes som følger
# 4 x ^ 2 + 8 y ^ 2 - 8 x - 28- (b2 (x-x_0) ^ 2 + a ^ 2 (y-y_0) ^ 2-a ^ 2b ^ 2) = 0 forall x i RR #
giver
# {(-28 + a ^ 2 b ^ 2 - b ^ 2 x_0 ^ 2 - a ^ 2 y_0 ^ 2 = 0), (2 a ^ 2 y_0 = 0), (8 - a ^ 2 = 0) (-8 + 2 b ^ 2 x_0 = 0), (4 - b2 2 = 0):}
løsningen får vi
# {a ^ 2 = 8, b ^ 2 = 4, x_0 = 1, y_0 = 0} #
så
# {4 x ^ 2 + 8 y ^ 2 - 8 x - 24 = 4} ækviv {(x-1) ^ 2/8 + y ^ 2/4 = 1} #
