Hvad er betydningen af de forskellige sæt af tal som egentlige, rationelle, irrationelle osv.?

Svar:

Et par tanker …

Forklaring:

Der er alt for meget, der kunne siges her, men her er et par tanker …

Hvad er et tal?

Hvis vi ønsker at være i stand til at begrunde tal og de ting, de måler eller giver sproget til udtryk, så har vi brug for faste fundament.

Vi kan starte fra hele tal: #0, 1, 2, 3, 4,…#

Når vi ønsker at udtrykke flere ting, kommer vi også over behovet for negative tal, så vi udvider vores ide om tal til heltalene: #0, +-1, +-2, +-3, +-4,…#

Når vi vil dele et tal med et hvilket som helst ikke-nul nummer, udvider vi vores ide om tal til rationelle tal # P / q # hvor #p, q # er heltal og #q! = 0 #.

Så kommer vi over ulemper som den kendsgerning, at diagonalen af en firkant med rationelle sider har en længde, vi ikke kan udtrykke som et rationelt tal. For at løse det skal vi introducere firkantede rødder - en slags irrationel nummer. Firkantede rødder tillader os at løse ligninger som:

# x ^ 2 + 4x + 1 = 0 #

Ofte når vi beskæftiger os med irrationelle tal som #sqrt (2) # vi enten forlade dem i algebraisk form eller bruge decimal tilnærmelser som #sqrt (2) ~~ 1.414213562 #.

Bemærk, at de tal, vi har talt om hidtil, har en naturlig samlet rækkefølge - vi kan placere dem på en linje på en sådan måde, at de to tal kan sammenlignes.

Hvad med hele linjen?

Det er almindeligvis kendt som den reelle talelinie, hvor hvert punkt af linjen er forbundet med et tal.

Hvordan kan vi begrunde tal på denne linje generelt?

Vi kan bruge de samlede ordre, aritmetiske egenskaber og karakterisere reelle tal i form af grænser. Generelt indebærer ræsonnement om reelle tal mere af den slags tænkning.

Så bliver matematikken mere kompliceret, når vi går fra ræsonnement om naturlige tal til at redegøre for reelle tal? Nej, det bliver anderledes - meget anderledes. For eksempel er et uløst problem i matematik:

Er der et uendeligt antal primapar - det vil sige par af tal # P # og # P + 2 # sådan at begge er prime.

Det lyder simpelt nok, men om det bedste, vi kan gøre så langt, er at vise, at der er et uendeligt antal primærpar af formularen # P #, # P + 246 # og selv det er meget kompliceret.