To hjørner af en enslig trekant er på (9, 6) og (7, 2). Hvis trekantens areal er 64, hvad er længderne på trekantens sider?

Svar:

# "sider" a = c = 28,7 "enheder" # og # "side" b = 2sqrt5 "enheder" #

Forklaring:

lade #b = # afstanden mellem de to punkter:

#b = sqrt ((9-7) ^ 2 + (6-2) ^ 2) #

#b = 2sqrt5 "enheder" #

Vi får det # "Område" = 64 "enheder" ^ 2 #

Lad "a" og "c" være de to andre sider.

For en trekant, # "Område" = 1 / 2bh #

At erstatte værdierne for "b" og området:

# 64 "enheder" ^ 2 = 1/2 (2sqrt5 "enheder") h #

Løs for højden:

#h = 64 / sqrt5 = 64 / 5sqrt5 "enheder" #

Lade #C = # vinklen mellem side "a" og side "b", så kan vi bruge den rigtige trekant dannet af side "b" og højden til at skrive følgende ligning:

#tan (C) = h / (1 / 2b) #

#tan (C) = (64 / 5sqrt5 "enheder") / (1/2 (2sqrt5 "enheder")) #

#C = tan ^ -1 (64/5) #

Vi kan finde længden af side "a" ved hjælp af følgende ligning:

#h = (a) synd (C) #

#a = h / sin (C) #

Erstatter i værdierne for "h" og "C":

#a = (64 / 5sqrt5 "enheder") / sin (tan ^ -1 (64/5)) #

#a = 28,7 "enheder" #

Intuition fortæller mig, at siden "c" er den samme længde som siden "a", men vi kan bevise dette ved hjælp af loven om kosiner:

# c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2 (a) (b) cos (C) #

Erstatter i værdierne for a, b og c:

# 2 ^ 2 (28,7 "enheder") ^ 2 + (2sqrt5 "enheder") ^ 2-2 (28,7 "enheder") (2sqrt5 "enheder") cos (tan ^ -1 (64/5)) #

#c = 28,7 "enheder" #