Hvordan integrerer du int 3 * (csc (t)) ^ 2 / cot (t) dt?

Svar:

Brug en # U #-substitution for at få # -3lnabs (barneseng (t)) + C #.

Forklaring:

Først bemærk at fordi #3# er en konstant, kan vi trække den ud af integralet for at forenkle:

# 3int (csc ^ 2 (t)) / barneseng (t) dt #

Nu - og dette er den vigtigste del - bemærk at derivatet af #cot (t) # er # -Csc ^ 2 (t) #. Fordi vi har en funktion og dens derivat til stede i samme integral, kan vi anvende en # U # substitution som denne:

# U = barneseng (t) #

# (Du) / dt = -csc ^ 2 (t) #

# Du = -csc ^ 2 (t) dt #

Vi kan konvertere de positive # Csc ^ 2 (t) # til en negativ som denne:

# -3int (-csc ^ 2 (t)) / barneseng (t) dt #

Og anvend substitutionen:

# -3int (du) / u #

Vi ved det # int (du) / u = lnabs (u) + C #, så evaluering af integralet er gjort. Vi skal bare vende tilbage (sæt svaret tilbage i form af # T #) og vedhæft det #-3# til resultatet. Siden # U = barneseng (t) #, kan vi sige:

# -3 (lnabs (u) + C) = - 3lnabs (barneseng (t)) + C #

Og det er alt sammen.

Svar:

# 3ln | csc 2t -cot 2t | + const. = 3ln | tan t | + const.

Forklaring:

# 3 int csc ^ 2 t / cot t dt = #

# = 3 int (1 / sin ^ 2 t) * (1 / (cos t / sin t)) dt #

# = 3 int dt / (sin t * cos t) #

Huske på, at

#sin 2t = 2sint * cost #

Så

# = 3int dt / ((1/2) sin 2t) #

# = 6int csc 2t * dt #

Som vi kan finde i et bord af integraler

(for eksempel tabel med integraler indeholdende Csc (ax) i SOS Math):

#int csc ax * dx = 1 / aln | cscax-cotax | = ln | tan ((ax) / 2) | #

vi får dette resultat

# = 3ln | csc2t-cot2t | + const = 3ln | tan t | + const.