Hvordan integrerer du int sec ^ -1x ved integration efter delmetode?

Svar:

Svaret er # = X "arc" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Forklaring:

Vi behøver

# (Sec ^ -1x) '= ("bue" secx)' = 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

# Intsecxdx = ln (sqrt (x ^ 2-1) + x) #

Integration af dele er

# Intu'v = uv-intuv '#

Her har vi

# U '= 1 #, #=>#, # U = x #

# V = "bue" secx #, #=>#, # V '= 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

Derfor, # int "arc" secxdx = x "arc" secx-int (dx) / (sqrt (x ^ 2-1)) #

Udfør det andet integral ved substitution

Lade # X = sik #, #=>#, # Dx = secutanudu #

#sqrt (x ^ 2-1) = sqrt (sec ^ 2u-1) = tanu #

# Intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (secutanudu) / (tanu) = intsecudu #

# = Int (sik (sik + tanu) du) / (sik + tanu) #

# = int ((sec ^ 2u + secutanu) du) / (secu + tanu) #

Lade # V = sik + tanu #, #=>#, # Dv = (sec ^ 2u + secutanu) du #

Så, # Intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (dv) / (v) = LNV #

# = Ln (sik + tanu) #

# = Ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) #

Langt om længe, # int "arc" secxdx = x "arc" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Svar:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Forklaring:

Alternativt kan vi bruge en mindre kendt formel til at udarbejde integraler af inverse funktioner. Formlen siger:

(x) ^ dx = xf ^ -1 (x) -F (f ^ -1 (x)) + C #

hvor # F ^ -1 (x) # er den inverse af #F (x) # og #F (x) # er anti-derivatet af #F (x) #.

I vores tilfælde får vi:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -F (sec ^ -1 (x)) + C #

Nu er alt, hvad vi har brug for at træne, det anti-derivative # F #, som er den velkendte sekundet integreret:

#int sec (x) dx = ln | sec (x) + tan (x) | + C #

Plugging dette tilbage i formlen giver vores sidste svar:

(x) -ln | sec (sec ^ -1 (x)) + tan (sec ^ -1 (x)) | + C #

Vi skal være forsigtige med at forenkle #tan (sec ^ -1 (x)) # til #sqrt (x ^ 2-1) # fordi identiteten kun er gyldig, hvis #x# er positiv. Vi er heldige, fordi vi kan løse dette ved at sætte en absolut værdi på den anden sigt inde i logaritmen. Dette fjerner også behovet for den første absolutte værdi, da alt inde i logaritmen altid vil være positivt:

# Xsec ^ -1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) + C #