Spørgsmål # 35a7e

Svar:

Som nævnt i kommentarerne nedenfor, er dette MacLaurin serien til #f (x) = cos (x) #, og vi ved, at dette konvergerer på # (- oo, oo) #. Men hvis du ville se processen:

Forklaring:

Da vi har en faktor i nævneren bruger vi forholdstest, da dette gør forenklingerne lettere. Denne formel er:

#lim_ (n-> oo) (a_ (n + 1) / a_n) #

Hvis dette er <1, konvergerer din serie

Hvis dette er> 1, afviger din serie

Hvis dette er = 1, er din test ufuldstændig

Så lad os gøre det her:

#lim_ (k-> oo) abs ((-! 1) ^ (k + 1) (x ^ (2k + 2) / ((2k + 2))) * (- 1) ^ k ((2k)!) / (x ^ (2k)) #

Bemærk: Vær meget forsigtig med, hvordan du tilslutter din (k + 1). 2k bliver til 2 (k + 1), IKKE 2k + 1.

Jeg multiplicerede med den gensidige af # X ^ (2k) / ((2k)!) # i stedet for at dele bare for at gøre arbejdet lidt lettere.

Lad os algebra. På grund af den absolutte værdi er vores alternerende udtryk (dvs. # (- 1) ^ k #) vil bare annullere, da vi altid vil have et positivt svar:

= (2k + 2) / ((2k + 2)!)) ((2k)!) / (x ^ (2k)) #

Vi kan annullere vores # X ^ (2k) #'S:

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ 2 / ((2k + 2)!)) ((2k)!)

Nu skal vi annullere factorials.

Husk det # (2k)! = (2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1 #

Også, # (2k + 2)! = (2k + 2) * (2k + 1) * (2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1 #

Varsel:

# (2k)! = farve (rød) (2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1) #

# (2k + 2)! = (2k + 2) * (2k + 1) * farve (rød) (2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1) #

Som du kan se, vi # (2k)! # er i det væsentlige en del af # (2k + 2)! #. Vi kan bruge dette til at annullere alle almindelige udtryk:

# (2k)!) / ((2k + 2)!) = Annuller (farve (rød) (2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1)) / (2k + 2) * (2k + 1) * Annuller (farve (rød) (2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1)) #

# = 1 / ((2k + 2) (2k + 1)) #

Dette forlader

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ 2 / ((2k + 2) (2k + 1)))

Nu kan vi evaluere denne grænse. Bemærk, at da vi ikke tager denne grænse med hensyn til #x#, vi kan faktor det ud:

# => abs (x ^ 2 lim_ (k-> oo) (1 / ((2k + 2) (2k + 1)))

# => abs (x ^ 2 * 0) = 0 #

Så som du kan se, denne grænse = 0, som er mindre end 1. Nu spørger vi os selv: er der nogen værdi af #x# for hvilken denne grænse ville være 1? Og svaret er nej, da alting gange med 0 er 0.

Så siden (2k + 2) / ((2k + 2)!)) ((2k)!) / (x ^ (2k))) <1 # for alle værdier af #x#, kan vi sige, at det har et konvergensinterval på # (- oo, oo) #.

Håber det hjalp:)