Hvordan finder du antiderivative af (e x) / (1 + e ^ (2x))?

Svar:

#arctan (e ^ x) + C #

Forklaring:

# "skrive" e ^ x "dx som" d (e ^ x) ", så får vi" #

#int (d (e ^ x)) / (1+ (e ^ x) ^ 2) #

# "med substitution y =" e ^ x "får vi" #

#int (d (y)) / (1 + y ^ 2) #

# "som er lig med" #

#arctan (y) + C #

# "Nu substituer tilbage" y = e ^ x: #

#arctan (e ^ x) + C #

Svar:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) "d" x = arctane ^ x + "c" #

Forklaring:

Vi ønsker at finde # Inte ^ x / (1 + e ^ (2x)) "d" x = int1 / (1+ (e ^ x) ^ 2) e ^ x "d" x #

Lad nu # U = e ^ x # og så tager differentialet på begge sider giver # Du = e ^ XdX #. Nu erstatter vi begge disse ligninger i integreret for at få

# Int1 / (1 + u ^ 2) "d" u #

Dette er et standardintegreret, som evaluerer til # Arctanu #. At erstatte for #x# vi får et sidste svar:

#arctan e ^ x + "c" #

Svar:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) dx = tan ^ -1 (e ^ x) + C #

Forklaring:

Først laver vi # U = 1 + e ^ (2x) #. At integrere med hensyn til # U #, opdeles vi ved derivatet af # U #, som er # 2e ^ (2x) #:

(x) (x) (x) (x) (x) x * e ^ x * u) du = #

# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u) du #

At integrere med hensyn til # U #, vi har brug for alt udtrykt i form af # U #, så vi skal løse for hvad # E ^ x # er i form af # U #:

# U = 1 + e ^ (2x) #

# E ^ (2x) = u-1 #

# 2x = ln (u-1) #

# X = 1 / 2ln (u-1) #

# X = ln ((u-1) ^ (1/2)) = ln (sqrt (u-1)) #

# E ^ x = e ^ (ln (sqrt (u-1))) = sqrt (u-1) #

Nu kan vi tilslutte dette tilbage til integreret:

# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) du #

Næste vil vi introducere en substitution med # Z = sqrt (u-1) #. Derivatet er:

# (Dz) / (du) = 1 / (2sqrt (u-1) #

så vi deler det ved at integrere med hensyn til # Z # (husk at opdeling er den samme som multiplicering af den gensidige):

# 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) * 2sqrt (u-1) dz = #

# = 2 / 2int 1 / u dz #

Nu har vi igen en forkert variabel, så vi skal løse for hvad # U # er lig med i forhold til # Z #:

# Z = sqrt (u-1) #

# U-1 = z ^ 2 #

# U = z ^ 2 + 1 #

Dette giver:

#int 1 / u dz = int 1 / (1 + z ^ 2) dz #

Dette er det fælles derivat af # Tan ^ -1 (z) #, så får vi:

#int 1 / (1 + z ^ 2) dz = tan ^ -1 (z) + C #

Fortryd alle substitutioner, vi får:

# Tan ^ -1 (z) + C = tan ^ -1 (sqrt (u-1)) + C = #

# = Tan ^ -1 (sqrt (1 + e ^ (2x) -1)) + C = tan ^ -1 ((e ^ (2x)) ^ (1/2)) + C = #

# = Tan ^ -1 (e ^ x) + C #