Hvad fortæller den 2. Derivative Test om opførslen af f (x) = x ^ 4 (x-1) ^ 3 ved disse kritiske tal?

Svar:

Den anden afledte test indebærer, at det kritiske tal (punkt) # X = 4/7 # giver et lokalt minimum for # F # mens siger ingenting om arten af # F # ved de kritiske tal (point) # X = 0,1 #.

Forklaring:

Hvis #F (x) = x ^ 4 (x-1) ^ 3 #, så siger produktreglen

#F '(x) = 4x ^ 3 (x-1) ^ 3 + x ^ 4 * 3 (x-1) ^ 2 #

# = X ^ 3 * (x-1) ^ 2 * (4 (x-1) + 3x) #

# = X ^ 3 * (x-1) ^ 2 * (7x-4) #

Indstil dette lig med nul og løse for #x# indebærer det # F # har kritiske tal (point) på # x = 0,4 / 7,1 #.

Brug af produktreglen giver igen:

(x-1) ^ 2) * (7x-4) + x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * 7 #

(X-1) ^ 2 x x 3 * 2 (x-1)) * (7x-4) + 7x ^ 3 * (x-1) ^ 2 #

# x x 2 * (x-1) * (3x-3 + 2x) * (7x-4) + 7x ^ 2-7x)

# = x ^ 2 * (x-1) * (42x ^ 2-48x + 12) #

# = 6x ^ 2 * (x-1) * (7x ^ 2-8x + 2) #

Nu #F '' (0) = 0 #, #F '' (1) = 0 #, og #F '' (4/7) = 576/2401> 0 #.

Den anden afledte test indebærer derfor, at det kritiske tal (punkt) # X = 4/7 # giver et lokalt minimum for # F # mens siger ingenting om arten af # F # ved de kritiske tal (point) # X = 0,1 #.

I virkeligheden er det kritiske tal (punkt) hos # X = 0 # giver et lokalt maksimum for # F # (og den første afledte test er stærk nok til at indebære dette, selvom den anden afledte test ikke gav nogen information) og det kritiske nummer (punkt) ved # X = 1 # giver hverken en lokal max eller min for # F #, men et (etdimensionelt) "sadelpunkt".