Hvad er ligningens ligning tangent til f (x) = y = e ^ x sin ^ 2x ved x = sqrtpi?

Svar:

Ligningen er ca.

#y = 3.34x - 0.27 #

Forklaring:

For at starte, skal vi bestemme #F '(x) #, så vi ved, hvad hældningen af #F (x) # er på ethvert punkt, #x#.

#f '(x) = d / dx f (x) = d / dx e ^ x sin ^ 2 (x) #

Brug af produktreglen:

#f '(x) = (d / dx e ^ x) sin ^ 2 (x) + e ^ x (d / dx sin ^ 2 (x)) #

Disse er standardderivater:

# d / dx e ^ x = e ^ x #

# d / dx sin ^ 2 (x) = 2sin (x) cos (x) #

Så vores derivat bliver:

#f '(x) = e ^ x sin (x) (sin (x) + 2cos (x)) #

Indsætte den givne #x# værdi, hældningen på #sqrt (pi) # er:

(sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi))) #

Dette er hældningen af vores linje på det punkt # x = sqrt (pi) #. Vi kan derefter bestemme y-interceptet ved at indstille:

#y = mx + b #

#m = f '(sqrt (pi)) #

#y = f (sqrt (pi)) #

Dette giver os den ikke-forenklede ligning for vores linje:

sf (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi)))) x + b #

(sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi)) sin))) x + b #

Løsning for b, vi ender med den irriterende komplicerede formel:

# p = e ^ (sqrt (pi)) sin sqrt (pi) sin sqrt (pi) - sqrt (pi) (sin (sqrt (pi)) + 2 cos (sqrt (pi))

Så vores linje ender med at blive:

(s) (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi))) x + e ^ (sqrt (pi)) sin sqrt (sqrt (pi)) sin pi) sin sqrt (pi) - sqrt (pi) (sin (sqrt (pi)) + 2 cos (sqrt (pi))

Hvis vi faktisk beregner, hvad disse irriterende store koefficienter svarer til, slutter vi med den omtrentlige linje:

#y = 3.34x - 0.27 #