Hvad er orthocenteret af en trekant med hjørner på (9, 5), (3, 8) og (5, 6)?

Svar:

Skridt: (1) find skråningerne af 2 sider, (2) find linjernes skråninger vinkelret på disse sider, (3) find ligningerne af linjerne med de skråninger, der passerer gennem de modsatte hjørner, (4) find punkt hvor disse linjer skærer, hvilket er orthocenteret, i dette tilfælde #(6.67, 2.67)#.

Forklaring:

For at finde orthocenteret i en trekant finder vi skråningerne (gradienter) af to af dets sider, så ligningerne af linierne vinkelret på disse sider.

Vi kan bruge disse skråninger plus koordinaterne til punktet over for den relevante side for at finde linjens ligninger vinkelret på siderne, der passerer gennem den modsatte vinkel: disse kaldes 'højderne' for siderne.

Hvor højderne for to af siderne krydser er orthocenteret (højden for den tredje side vil også passere gennem dette punkt).

Lad os mærke vores point for at gøre det nemmere at henvise til dem:

Punkt A = #(9, 5)#

Punkt B = #(3, 8)#

Punkt C = #(5, 6)#

For at finde hældningen, brug formlen:

#m = (y_2-y_1) / (x_2-x_1) #

#m_ (AB) = (8-5) / (9-3) = 3/6 = 1/2 #

#m_ (BC) = (6-8) / (5-3) = (- 2) / 2 = -1 #

Vi ønsker dog ikke disse skråninger, men linjens skråninger vinkelret (vinkelret) på dem. Linjen vinkelret på en linje med hældning # M # har skråning # -1 / m #, så linjen vinkelret på # AB # har skråning #-2# og linjen vinkelret på # BC # har skråning #1#.

Nu kan vi finde ligningerne af højderne af punkt C (modsat AB) og punkt A (modsat BC) ved at erstatte koordinaterne for disse punkter i ligningen

# Y = mx + c #

For punkt C er højden:

# 6 = -2 (5) + c # hvilket giver # C = 6 + 10 = 16 # derfor #y = -2x + 16 #

Tilsvarende for punkt A:

# 5 = 1 (9) + c # hvilket giver # c = 5-9 = -4 # så ligningen er:

# y = x-4 #

For at finde orthocenteret skal vi simpelthen finde det punkt, hvor disse to linjer krydser. Vi kan ligestille dem med hinanden:

# -2x + 16 = x-4 #

Omorganisering, # 3x = 20 til x ~ ~ 6,67 #

Erstatter i hver ligning for at finde # Y # værdi, som er #2.67#.

Derfor er orthocenteret punktet #(6.67, 2.67)#.