Først bemærk et interessant mønster her:
#1, 4, 9, 16, 25, …#
Forskellene mellem perfekte firkanter (starter ved
#1, 3, 5, 7, 9, …#
Summen af
Lad os tage et andet eksempel. Du kan hurtigt bevise at:
#1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 100#
Der er
Derfor summen af
# ((99 + 1) / 2) ^ 2 = farve (blå) (2500) #
Formelt kan du skrive dette som:
#color (grøn) (sum_ (n = 1) ^ N (2n-1) = 1 + 3 + 5 + … + (2N - 1) = ((N + 1) / 2) ^ 2)
hvor
Summen af alle 3-cifrede tal, hvis tal er alle ulige, er?
69375 * De eneste ulige tal er 1, 3, 5, 7, 9, som alle er ikke-nul. Antallet af måder til dannelse af et trecifret tal fra disse cifre er 5 ^ 3 = 125, da der er 5 valg for det første ciffer, 5 for det andet og 5 for det tredje. På disse 125 måder har hvert ciffer samme frekvens. Den gennemsnitlige cifferværdi er 1/5 (1 + 3 + 5 + 7 + 9) = 5. Hvert muligt trecifret tal er en lineær kombination af cifre. Derfor er gennemsnitsværdien af et af de trecifrede tal 555. Så summen er: 5 ^ 3 * 555 = 125 * 555 = 69375
Bevis indirekte, hvis n ^ 2 er et ulige tal og n er et helt tal, så er n et ulige tal?
Bevis ved modsigelse - se nedenfor Vi får at vide, at n ^ 2 er et ulige tal og n i ZZ:. n ^ 2 i ZZ Antag at n ^ 2 er ulige, og n er jævnt. Så n = 2k for nogle k ZZ og n ^ 2 = nxxn = 2kxx2k = 2 (2k ^ 2), som er et lige heltal:. n ^ 2 er ens, hvilket modsiger vores antagelse. Derfor må vi konkludere, at hvis n ^ 2 er mærkeligt, skal n også være mærkeligt.
Winnie hoppe regnet med 7s startende kl 7 og skrev 2.000 numre i alt, Grogg hoppet tællet med 7 startende kl 11 og skrev 2.000 numre i alt Hvad er forskellen mellem summen af alle Groggs tal og summen af alle Winnies tal?
Se en løsningsproces nedenfor: Forskellen mellem Winnie og Groggs første nummer er: 11 - 7 = 4 De begge skrev 2000 numre. De begge hoppede tælles med det samme beløb. - 7s Derfor skrev forskellen mellem hvert nummer Winnie og hvert nummer Grogg skrev er også 4 Derfor er forskellen i summen af tallene: 2000 xx 4 = farve (rød) (8000)