Svar:
# x = arctan (-3) + 180 ^ cirk k eller x = -45 ^ cirk + 180 ^ cirk k quad # for heltal # K. #
Forklaring:
Jeg har arbejdet på to forskellige måder, men jeg tror, at denne tredje vej er bedst. Der er flere dobbeltvinkelformler til cosinus. Lad os ikke blive fristet af nogen af dem. Lad os også undgå kvadrering af ligninger.
#cos 2x + 2 sin 2x + 2 = 0 #
#cos 2x + 2 sin 2x = -2 #
Den lineære kombination af cosinus og sinus er et faseskiftet cosinus.
Lade # r = sqrt {1 ^ 2 + 2 ^ 2} # og
# theta = tekst {Arc} tekst {tan} (2/1) #
Jeg angav den primære inverse tangent, her i den første kvadrant, omkring # Theta = 63,4 ^ circ #. Vi er sikre på
#r cos theta = sqrt {5} (1 / sqrt {5}) = 1 #
# r sin theta = sqrt {5} (2 / sqrt {5}) = 2 #
Så vi kan omskrive vores ligning
#sqrt {5} ((1 / sqrt {5}) cos 2x + (2 / sqrt {5}) sin 2x) = -2 #
# (1 / sqrt {5}) cos 2x + (2 / sqrt {5}) sin 2x = -2 / sqrt {5} #
# cos 2x cos theta + sin 2x sin theta = -2 / sqrt {5} #
#cos (2x - theta) = synd (-theta) #
#cos (2x - theta) = cos (90 ^ circ + theta) #
Husk altid den generelle løsning på #cos x = cos a # er # x = pm a + 360 ^ cirk k quad # for heltal # K #.
# 2x - theta = pm (90 ^ circ + theta) + 360 ^ circ k #
# 2x = theta pm (90 ^ circ + theta) + 360 ^ circ k #
# x = theta / 2 pm (45 ^ circ + theta / 2) + 180 ^ circ k #
Ved at tage tegnene ad gangen, # x = theta + 45 ^ circ + 180 ^ circ k eller x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k #
#phi = theta + 45 ^ cirk # er en konstant vi kan forsøge at få et bedre udtryk for:
#tan (phi) = tan (arctan (2) + 45 ^ cirk) #
Tan (45 ^ cirk)} = {2 + 1} / {1 - 2} = -3 #
Vi ved # Phi # er i den anden kvadrant, ikke i det sædvanlige område af hovedværdien.
#phi = tekst {Arc} tekst {tan} (- 3) + 180 ^ cirk #
Det viser sig ikke at være noget, fordi vi tilføjer # 180 ^ circ k # til # Phi # i den generelle løsning alligevel. Samler det hele, # x = arctan (-3) + 180 ^ circ k eller x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k #
Vi behøver ikke at være omhyggelige om arctanens hovedværdi; siden vi tilføjer # 180 ^ circ k # enhver værdi vil gøre. Vi kunne skrive den første # X = arctan (-3) # med # 180 ^ circ k # underforstået, men lad os forlade det her.
