Find alle de kritiske punkter for denne funktion?

Svar:

#(0,-2)# er et sadelpunkt

#(-5,3)# er et lokalt minimum

Forklaring:

Vi er givet #g (x, y) = 3x ^ 2 + 6xy + 2y ^ 3 + 12x-24y #

Først skal vi finde de punkter hvor # (Delg) / (delx) # og # (Delg) / (dely) # begge er lig med 0.

# (Delg) / (delx) = 6x + 6y + 12 #

# (Delg) / (dely) = 6x + 6y ^ 2-24 #

# 6 (x + y + 2) = 0 #

# 6 (x + y ^ 2-4) = 0 #

# x + y + 2 = 0 #

# X = -y-2 #

# -Y-2 + y ^ 2-4 = 0 #

# Y ^ 2-y-6 = 0 #

# (Y-3) (y + 2) = 0 #

# y = 3 eller -2 #

# X = -3-2 = -5 #

# X = 2-2 = 0 #

Kritiske punkter forekommer hos #(0,-2)# og #(-5,3)#

Nu for at klassificere:

Det afgørende for #F (x, y) # er givet af #D (x, y) = (del ^ 2g) / (delx ^ 2) (del ^ 2g) / (dely ^ 2) - ((del ^ 2g) / (delxy)) ^ 2 #

# (Del ^ 2g) / (delx ^ 2) = del / (delx) ((delg) / (delx)) = del / (delx) (6x + 6y + 12) = 6 #

# (Del ^ 2g) / (dely ^ 2) = del / (dely) ((delg) / (dely)) = del / (dely) (6x + 6y ^ 2-24) = 12y #

# (Del ^ 2g) / (delxy) = del / (delx) ((delg) / (dely)) = del / (delx) (6x + 6y ^ 2-24) = 6 #

# (Del ^ 2g) / (delyx) = del / (dely) ((delg) / (delx)) = del / (dely) (6x + 6y + 12) = 6 #

#D (x, y) = 6 (12y) -36 #

#D (0, -2) = 72 (-2) -36 = -180 #

#D (-5,3) = 72 (3) -36 = 180 #

Siden #D (0, -2) <0 #, #(0,-2)# er et sadelpunkt.

Og siden #D (-5,3)> 0 og (del ^ 2g) / (delx ^ 2)> 0 #, #(-5,3)# er et lokalt minimum. (# (Del ^ 2g) / (delx ^ 2) = 6 # så vi behøver ikke lave nogen beregninger).

Lad f være en kontinuerlig funktion: a) Find f (4) hvis _0 ^ (x ^ 2) f (t) dt = x sin πx for alle x. b) Find f (4) hvis _0 ^ f (x) t ^ 2 dt = x sin πx for alle x?

A) f (4) = pi / 2; b) f (4) = 0 a) Differentier begge sider. Gennem den anden grundlæggende sætning af calculus på venstre side og produkt- og kædereglerne på højre side ser vi, at differentiering afslører at: f (x ^ 2) * 2x = sin (pix) + pixcos (pix) ) Lad x = 2 vise at f (4) * 4 = sin (2pi) + 2picos (2pi) f (4) * 4 = 0 + 2pi * 1 f (4) = pi / 2 b) Integrér det indre udtryk. int_0 ^ f (x) t ^ 2dt = xsin (pix) [t ^ 3/3] _0 ^ f (x) = xsin (pix) Evaluer. (f (x)) ^ 3 / 3-0 ^ 3/3 = xsin (pix) (f (x)) ^ 3/3 = xsin (pix) (f (x)) ^ 3 = 3xsin x = 4. (f (4)) ^ 3 = 3 (4) sin (4pi) (f (4)) ^ 3 =

X.: 1. 3. 6. 7 P (X): 0.35. Y. 0,15. 0,2 Find værdien af y? Find den gennemsnitlige (forventede værdi)? Find standardafvigelsen?

En kurve er defineret af parametrisk eqn x = t ^ 2 + t - 1 og y = 2t ^ 2 - t + 2 for alle t. i) viser at A (-1, 5_ ligger på kurven ii) find dy / dx. iii) find eqn af tangent til kurven ved pt. A. ?

Vi har den parametriske ligning {(x = t ^ 2 + t-1), (y = 2t ^ 2-t + 2):}. For at vise at (-1,5) ligger på den ovenfor definerede kurve, skal vi vise at der er en bestemt t_A sådan at ved t = t_A, x = -1, y = 5. Således er {(-1 = t_A ^ 2 + t_A-1), (5 = 2t_A ^ 2-tAA + 2):}. Ved at løse topligningen afsløres det, at t_A = 0 "eller" -1. Løsningen af bunden afslører, at t_A = 3/2 "eller" -1. Derefter ved t = -1, x = -1, y = 5; og derfor ligger (-1,5) på kurven. For at finde hældningen ved A = (- 1,5) finder vi først ("d" y) / ("d" x). Ved