Hvordan beviser du: secx - cosx = sinx tanx?

Brug af definitionerne af # Secx # og # Tanx #, sammen med identiteten

# sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, vi har

# secx-cosx = 1 / cosx-cosx #

# = 1 / cosx-cos ^ 2x / cosx #

# = (1-cos ^ 2x) / cosx #

# = Sin ^ 2x / cosx #

# = sinx * sinx / cosx #

# = Sinxtanx #

Svar:

Først konvertere alle udtryk til # Sinx # og # Cosx #.

Andet anvender fraktionssummeregler til LHS.

Endelig anvender vi den pythagoranske identitet: # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #

Forklaring:

Først i spørgsmål om disse former er det en god idé at konvertere alle termer til sinus og cosinus: så erstatt #tan x # med #sin x / cos x #

og erstatte #sec x # med # 1 / cos x #.

LHS, #sec x-cos x # bliver til # 1 / cos x-cos x #.

RHS, # sin x tan x # bliver til #sin x sin x / cos x # eller # sin ^ 2 x / cos x #.

Nu bruger vi fraktionssummerregler til LHS, hvilket gør en fælles base (ligesom nummerfraktion som #1/3 +1/4 => 4/12 + 3/12 = 7/12)#.

LHS =# 1 / cos x-cos x => 1 / cos x-cos ^ 2 / cos x => {1 - cos ^ 2 x} / cos x #.

Endelig anvender vi den pythagoranske identitet: # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #! (en af de mest nyttige identiteter til disse typer problemer).

Ved at omarrangere det får vi # 1-cos ^ 2 x = sin ^ 2 x #.

Vi erstatter # 1-cos ^ 2 x # i LHS med # sin ^ 2 x #.

LHS = # {1 - cos ^ 2 x} / cos x => {sin ^ 2 x} / cos x # som er lig med den modificerede RHS.

Således LHS = RHS Q.E.D.

Bemærk dette generelle mønster for at få tingene i sine sinus og cosinus, ved hjælp af fraktionsreglerne og den pythagoranske identitet løser ofte disse typer af spørgsmål.

Hvis vi ønsker det, kan vi også ændre den højre side for at matche venstre side.

Vi skal skrive # Sinxtanx # med hensyn til # Sinx # og # Cosx #, ved hjælp af identiteten #COLOR (rød) (tanx = sinx / cosx) #:

# Sinxtanx = sinx (sinx / cosx) = sin ^ 2x / cosx #

Nu bruger vi den pythagoranske identitet, som er # Synd ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #. Vi kan ændre dette for at løse for # Synd ^ 2x #, så: #COLOR (rød) (sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x) #:

# Sin ^ 2x / cosx = (1-cos ^ 2x) / cosx #

Nu skal du bare opdele tælleren:

# (1-cos ^ 2x) / cosx = 1 / cosx-cos ^ 2x / cosx = 1 / cosx-cosx #

Brug den gensidige identitet #COLOR (rød) (secx = 1 / cosx #:

# 1 / cosx-cosx = secx-cosx #

Svar:

Det er virkelig så simpelt …

Forklaring:

Brug af identiteten # Tanx = sinx / cosx #multiplicere # Sinx # på identiteten for at få:

# Secx-cosx = sin ^ 2x / cosx #

Derefter formere # Cosx # gennem ligningen for at give:

# 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x #

Overvejer det # Secx # er den inverse af # Cosx #.

Endelig ved hjælp af den trigonometriske identitet # 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x #, det endelige svar ville være:

# Synd ^ 2x = sin ^ 2x #