Hvordan integreres int [6x ^ 2 + 13x + 6] / [(x + 2) (x + 1) ^ 2] dx med partielle fraktioner?

Svar:

# 4LN (abs (x + 2)) + 2ln (abs (x + 1)) + (x + 1) ^ - 1 + C #

Forklaring:

Så skriver vi først dette:

# (6x ^ 2 + 13x + 6) / ((x + 2) (x + 1) ^ 2) = A / (x + 2) + B / (x + 1) + C / (x + 1) ^ 2 #

Ved tilføjelse får vi:

# (6x ^ 2 + 13x + 6) / ((x + 2) (x + 1) ^ 2) = A / (x + 2) + (B (x + 1) + C) / (x + 1) ^ 2 = (A (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) + C)) / ((x + 2) (x + 1) ^ 2) #

# 6x ^ 2 + 13x + 6 = A (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) + C) #

Ved brug af # x = -2 # giver os:

# 6 (-2) ^ 2 + 13 (-2) + 6 = A (-1) ^ 2 #

# A = 4 #

# 6x ^ 2 + 13x + 6 = 4 (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) + C) #

Så bruger # x = -1 # giver os:

# 6 (-1) ^ 2 + 13 (-1) + 6 = C #

# C = -1 #

# 6x ^ 2 + 13x + 6 = 4 (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) -1) #

Nu bruger # X = 0 # (enhver værdi, der ikke er brugt, kan bruges):

# 6 = 4 + 2 (B-1) #

# 2 (B-1) = 2 #

# B-1 = 1 #

# B = 2 #

# 6x ^ 2 + 13x + 6 = 4 (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (2 (x + 1) -1) #

# (6x ^ 2 + 13x + 6) / ((x + 2) (x + 1) ^ 2) = 4 / (x + 2) + 2 / (x + 1) -1 / (x + 1) ^ 2 #

# Int4 / (x + 2) + 2 / (x + 1) -1 / (x + 1) ^ 2dx = 4LN (abs (x + 2)) + 2ln (abs (x + 1)) + int-1 / (x + 1) ^ 2dx #

Jeg forlod denne ene ud, så vi kan arbejde på det separat.

Vi har # - (x + 1) ^ - 2 #. Vi ved, at brugen af kædelegemet giver os # D / dx f (x) ^ n = nf (x) ^ (n-1) f '(x) #. Vi har bare # - (x + 1) ^ - 2 #, så #F (x) # må være # (X + 1) ^ - 1 #

# D / dx (x + 1) ^ - 1 = - (x + 1) ^ - 2 #

# Int4 / (x + 2) + 2 / (x + 1) -1 / (x + 1) ^ 2dx = 4LN (abs (x + 2)) + 2ln (abs (x + 1)) + (x + 1) ^ - 1 + C #

Hvad er reglerne for at lave partielle fraktioner?

Pas på, det kan være lidt kompliceret Jeg vil gennemgå et par eksempler, da der er utallige problemer med deres egen løsning. Sig, at vi har (f (x)) / (g (x) ^ n) Vi skal skrive det som et beløb. (f (x)) / (g (x) ^ n) = sum_ (a = 1) ^ nA / (g (x) ^ a) For eksempel (f (x)) / ) = A / (g (x)) + B / (g (x) ^ 2) + C / (g (x) ^ 3) Eller vi har (f (x)) / (g (x) ^ ah (x) ^ b) = sum_ (n_1 = 1) ^ aA / (g (x) ^ (n_1)) + sum_ (n_2 = 1) ^ bB / (h (x) ^ (n_2)) For eksempel f (x)) / (g (x) ^ 2h (x) ^ 3) = A / (g (x)) + B / (g (x) ^ 2) + C / (h (x)) + D / (h (x) ^ 2) + E / (h (x) ^ 3) Den næste bit kan ikke s

Hvordan integrerer du f (x) = (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) ved anvendelse af partielle fraktioner?

35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C Siden nævneren er allerede opregnet, alt hvad vi behøver for at gøre partielle fraktioner, er løsningen for konstanterne: (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) = (Ax + B) / (x ^ 2 + 2) + C / (x-3) + D / (x-7) Bemærk at vi har brug for både en x og et konstant udtryk på den venstre mest brøkdel, fordi tælleren altid er 1 grad lavere end nævneren. Vi kunne formere sig ved den venstre sidenævner, men det ville være en stor mængde arbejde, så vi kan i sted

Hvordan integrerer du int 1 / (x ^ 2 (2x-1)) ved hjælp af partielle fraktioner?

2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C Vi skal finde A, B, C sådan at 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / x + B / x ^ 2 + C / (2x-1) for alle x. Multiplicere begge sider med x ^ 2 (2x-1) for at få 1 = Akse (2x-1) + B (2x-1) + Cx ^ 2 1 = 2Ax ^ 2-Axe + 2Bx-B + Cx ^ 2 1 = Ligningskoefficienter giver os {(2A + C = 0), (2B-A = 0), (- B = 1):} Og således har vi A = -2, B = -1, C = 4. Ved at erstatte dette i den indledende ligning får vi 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = 4 / (2x-1) -2 / x-1 / x ^ 2 Integrer den nu termen med termen int 4 / (2x-1) dx-int 2 / x dx-int 1 / x ^ 2 dx for at få 2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C