Hvordan integrerer du f (x) = (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) ved anvendelse af partielle fraktioner?

Svar:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C #

Forklaring:

Da nævneren allerede er indregnet, er alt, hvad vi behøver at gøre partielle fraktioner, løs for konstanterne:

# (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) = (ax + b) / (x ^ 2 + 2) + C / (x-3) + D / (x-7) #

Bemærk at vi har brug for både en #x# og et konstant udtryk på venstre side mest fraktion, fordi tælleren altid er 1 grad lavere end nævneren.

Vi kunne formere sig ved den venstre sidenævner, men det ville være en stor mængde arbejde, så vi kan i stedet være kloge og bruge cover-up-metoden.

Jeg vil ikke gå over processen i detaljer, men i det væsentlige hvad vi gør er at finde ud af, hvad der gør nævneren lige nul (i tilfælde af # C # det er # X = 3 #), og sætte det i venstre side og evaluere, mens du dækker den faktor, der svarer til konstanten, hvilket giver:

# C = (3 (3) ^ 2-3) / ((3 ^ 2 + 2) (tekst (////)) (3-7)) = - 6/11 #

Vi kan gøre det samme for # D #:

# D = (3 (7) ^ 2-7) / ((7 ^ 2 + 2) (7-3) (tekst (////))) = 35/51 #

Cover-up-metoden fungerer kun for lineære faktorer, så vi er nødt til at løse for #EN# og # B # ved hjælp af den traditionelle metode og multiplicere gennem den venstre sidenævner:

# 3x ^ 2-x = (ax + b) (x-3) (x-7) -6/11 (x ^ 2 + 2) (x-7) +35/51 (x ^ 2 + 2) (x-3) #

Hvis vi formere gennem alle parenteserne og ligestille alle de forskellige koefficienter #x# og konstante vilkår, kan vi finde ud af værdierne af #EN# og # B #. Det er en ret lang beregning, så jeg vil bare forlade et link til den, der er interesseret:

Klik her

# A = -79 / 561 #

# B = -94 / 561 #

Dette giver, at vores integral er:

(x-3)) - (79x + 94) / (561 (x ^ 2 + 2)) dx #

De første to kan løses ved brug af temmelig enkle u-substitutioner af navngivne:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1 / 561int (79x) / (x ^ 2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2) dx #

Vi kan dele det resterende integreret i to:

(xx2) + 94 / (x ^ 2 + 2) dx = int (79x) / (x ^ 2 + 2) dx + int 94 / (x ^ 2 + 2) dx #

Jeg vil kalde den venstre Integral 1 og den rigtige Integral 2.

Integral 1

Vi kan løse dette integral ved en u-substitution af # U = x ^ 2 + 2 #. Derivatet er # 2x #, så vi deler sig ved # 2x # at integrere med hensyn til # U #:

# 79int x / (x ^ 2 + 2) dx = 79int annullere (x) / (2cancel (x) u) du = 79 / 2int 1 / u du = 79 / 2ln | u | + C = 79 / 2ln | x ^ 2 + 2 | + C #

Integral 2

Vi ønsker at få denne integreret i formularen til # Tan ^ -1 #:

#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #

Hvis vi introducerer en substitution med # X = sqrt2u #, vil vi kunne omdanne vores integral til denne formular. At integrere med hensyn til # U #, vi må multiplicere med # Sqrt2 # (siden vi tog derivatet med hensyn til # U # i stedet for #x#):

# 94int 1 / (x ^ 2 + 2) dx = 94sqrt2int 1 / ((sqrt2u) ^ 2 + 2) du = #

# = 94sqrt2int 1 / (2u ^ 2 + 2) du = 94 / 2sqrt2int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #

# = 47sqrt2tan ^ -1 (u) + C = 47sqrt2tan ^ -1 (x / sqrt2) + C #

Afslutter det oprindelige integral

Nu hvor vi ved, hvad Integral 1 og Integral 2 er ens, kan vi færdiggøre det oprindelige integreret for at få vores endelige svar:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C #