Hvordan konverterer du r = 2 sin theta til kartesisk form?

Svar:

Benyt nogle få formler og gør nogle forenklinger. Se nedenunder.

Forklaring:

Når du beskæftiger dig med transformationer mellem polære og kartesiske koordinater, skal du altid huske disse formler:

• # x = rcostheta #
• # Y = rsintheta #
• # R ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 #

Fra # Y = rsintheta #, vi kan se at dele begge sider med # R # giver os # Y / r = sintheta #. Vi kan derfor erstatte # Sintheta # i # R = 2sintheta # med # Y / r #:

# R = 2sintheta #

# -> r = 2 (y / r) #

# -> r ^ 2 = 2y #

Vi kan også erstatte # R ^ 2 # med # X ^ 2 + y ^ 2 #, fordi # R ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 #:

# R ^ 2 = 2y #

# -> x ^ 2 + y ^ 2 = 2y #

Vi kunne forlade det ved det, men hvis du er interesseret …

Yderligere forenkling

Hvis vi trækker # 2y # fra begge sider slutter vi med dette:

# X ^ 2 + y ^ 2-2y = 0 #

Bemærk at vi kan færdiggøre pladsen # Y ^ 2-2y #:

# X ^ 2 + (y ^ 2-2y) = 0 #

# -> x ^ 2 + (y ^ 2-2y + 1) = 0 + 1 #

# -> x ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 1 #

Og hvad med det! Vi ender med ligningen af en cirkel med center # (H, k) -> (0,1) # og radius #1#. Vi kender de polære ligninger af formularen # Y = asintheta # form cirkler, og vi har lige bekræftet det ved hjælp af kartesiske koordinater.