En forskningsassistent lavede 160 mg radioaktivt natrium (Na ^ 24) og fandt ud af, at der kun var 20 mg tilbage 45 timer senere, hvor meget af den oprindelige 20 mg ville blive efterladt om 12 timer?

Svar:

#=11.49# mg vil blive efterladt

Forklaring:

Lad hastigheden af forfald være #x# Per time

Så vi kan skrive

# 160 (x) ^ 45 = 20 #

eller

# X ^ 45 = 20/160 #

eller

# X ^ 45 = 1/8 #

eller

# X = root45 (1/8) #

eller

# X = 0,955 #

Lige efter #12# timer

#20(0.955)^12#

#=20(0.57)#

#=11.49# mg vil blive efterladt

Svar:

Bare for at bruge den konventionelle radioaktive henfaldsmodel som en lille alternativ metode.

Efter 12 timer har vi 11,49 mg

Forklaring:

Lade #Q (t) # betegner mængden af natrium til stede på tidspunktet # T #. På # t = 0, Q = Q_0 #

Det er en ret simpel model at løse med ODEs, men da det ikke er virkelig relateret til spørgsmålet, slutter vi med

#Q (t) = Q_0e ^ (- kt) # hvor # K # er en hastighedskonstant.

Først finder vi værdien af # K #

# Q_0 = 160mg, Q (45) = 20mg #

#Q (45) = 20 = 160e ^ (- 45k) #

#therefore 1/8 = e ^ (- 45k) #

Tag naturlige logs fra begge sider:

#ln (1/8) = -ln (8) = -45k #

# k = (ln (8)) / 45 timer ^ (- 1) #

# derfor er Q (t) = Q_0e ^ (- (ln (8)) / 45t)

Så begynder med # Q_0 = 20mg #

# Q (12) = 20e ^ (- (ln (8)) / 45 * 12) = 11,49 mg #