Hvad er halveringstiden for (Na ^ 24), hvis en forskningsassistent lavede 160 mg radioaktivt natrium (Na ^ 24) og fandt ud af, at der kun var 20 mg tilbage 45 timer senere?

Svar:

#color (blå) ("Halveringstiden er 15 timer.") #

Forklaring:

Vi skal finde en ligning af formularen:

# A (t) = A (0) e ^ (kt) #

Hvor:

#BB (A (t)) = # mængden efter tid t.

#BB (A (0) = # mængden i starten. dvs. t = 0.

# BBK = # væksten / henfaldsfaktoren.

# BBE = # Eulers nummer.

# BBT = # tid, i dette tilfælde timer.

Vi får:

# A (0) = 160 #

# A (45) = 20 #

Vi skal løse for # BBK #:

# 20 = 160e ^ (45k) #

Opdel ved 160:

# 1/8 = e ^ (45k) #

Ved hjælp af naturlige logaritmer på begge sider:

#ln (1/8) = 45kln (e) #

#ln (e) = 1 #

Derfor:

#ln (1/8) = 45k #

Opdeling med 45:

#ln (1/8) / 45 = k #

#:.#

# A (t) = 160e ^ (t (ln (1/8) / 45)) #

# A (t) = 160e ^ (t / 45 (ln (1/8)) #

# A (t) = 160 (1/8) ^ (t / 45) #

Siden definitionen er halveringstiden tidsperioden, når vi har halvdelen af udgangsmængden:

# A (t) = 80 #

Så vi skal løse for t i:

# 80 = 160 * (1/8) ^ (t / 45) #

# 80/160 = (1/8) ^ (t / 45) #

# 1/2 = (1/8) ^ (t / 45) #

Under naturlige logaritmer:

#ln (1/2) = t / 45ln (1/8) #

# 45 * (ln (1/2)) / (ln (1/8)) = t = 15 #

Halveringstiden er 15 timer.

Svar:

15 timer

Forklaring:

• Hurtig måde

Som mængden af et forfaldende stof halveres over hver halveringstid (dermed navnet), halvering af mængden i trin kræver 3 trin for at få fra 160 til 20:

• # 160 til 80 til 40 til 20 #

Og #45 = 3 * 15#

Så halveringstiden er 15 år.

• Mere formel måde

Til halveringstid # Tau #, hvor # X (t) # er mængden (masse / antal partikler / osv.) der er tilbage ved tidspunktet t:

# X (t) = X_o (1/2) ^ (t / tau) qquad square #

Så:

# X (0) = X_o, X (tau) = X_o / 2, X (2tau) = X_o / 4, … #

Plugging de værdier, der er givet til #firkant#:

# 20 = 160 * (1/2) ^ (45 / tau) #

#implies (1/2) ^ (45 / tau) = 1/8 qquad qquad = (1/2) ^ 3 #

#implies 45 / tau = 3 betyder tau = 15 #