Området afgrænset af kurven y = 3 + 2x-x ^ 2 og linjen y = 3 drejes fuldstændigt om linjen y = 3. Find volumenet af det omdrejningsfaststof, der er opnået?

Svar:

# V = 16 / 15pi ~~ 3,35103 #

Området er løsningen af dette system:

# {(Y <= - x ^ 2 + 2x + 3), (y> = 3):} #

Og det er skitseret i dette plot:

Formlen for volumenet af et x-akse rotationsfaststof er:

# V = pi * int_a ^ b f ^ 2 (z) dz #.

For at anvende formlen skal vi oversætte halvmåne på x-aksen, området ændres ikke, og det ændrer heller ikke lydstyrken:

# Y = -x ^ 2 + 2x + 3color (rød) (- 3) = - x ^ 2 + 2x #

# Y = 3color (rød) (- 3) = 0 #

På denne måde opnår vi #F (z) = - z ^ 2 + 2z #.

Det oversatte område er nu plottet her:

Men hvad er integralens a og b? Systemets løsninger:

# {(Y = -x ^ 2 + 2x), (y = 0):} #

Så # a = 0 og b = 2 #.

Lad os omskrive og løse integralet:

# V = pi * int_0 ^ 2 (-z ^ 2 + 2z) ^ 2 dz #

# V = pi * int_0 ^ 2 z ^ 4-4z ^ 3 + 4z ^ 2 dz #

# V = pi * z ^ 5 / 5- (4z ^ 4) / 4 + (4z ^ 3) / 3 _0 ^ 2 #

# V = pi * z ^ 5/5-z ^ 4 + (4z ^ 3) / 3 _0 ^ 2 #

# V = pi * (2 ^ 5 / 5-2 ^ 4 + (4 * 2 ^ 3) / 3-0 ^ 5/5 + 0 ^ 4- (4 * 0 ^ 3) / 3) #

# V = pi * (32 / 5-16 + 32/3 + 0) #

# V = pi * (96 / 15-240 / 15 + 160/15) #

# V = 16 / 15pi ~~ 3,35103 #

Og denne "citron" opnår det faste stof: