Hvad er funktionsforløbet af funktionen f (x) = ln x?

#f (x) = ln (x) -> infty # som #x -> infty # (#ln (x) # vokser uden bundet som #x# vokser uden bundet) og #F (x) = ln (x) -> - infty # som #x -> 0 ^ {+} # (#ln (x) # vokser uden bundet i negativ retning som #x# nærmer sig nul fra højre).

For at bevise det første faktum, skal du i det væsentlige vise, at den stigende funktion #F (x) = ln (x) # har ingen vandret asymptote som #x -> infty #.

Lade #M> 0 # være et givet positivt tal (uanset hvor stort). Hvis #x> e ^ {M} #, derefter #F (x) = ln (x)> ln (e ^ {M}) = M # (siden #F (x) = ln (x) # er en stigende funktion). Dette viser, at der er en horisontal linje # Y = M # kan ikke være en vandret asymptote af #F (x) = ln (x) # som #x -> infty #. Det faktum, at #F (x) = ln (x) # er en stigende funktion indebærer nu det #F (x) = ln (x) -> infty # som # X-> infty #.

For at bevise det andet faktum, lad #M> 0 # være et givet positivt tal, så det # -M <0 # er et givet negativt tal (ligegyldigt hvor langt fra nul). Hvis # 0 <x <e ^ {- M} #, derefter #F (x) = ln (x) < ln (e ^ {- M}) = - M # (siden #F (x) = ln (x) # er stigende). Dette beviser det #F (x) = ln (x) # kommer under en vandret linje hvis # 0 <x # er tilstrækkeligt tæt på nul. Det betyder #F (x) = ln (x) -> - infty # som #x -> 0 ^ {+} #.