Hvad er arklængden af (t-3, t + 4) på t i [2,4]?

Svar:

# A = 2sqrt2 #

Forklaring:

Formlen for parametrisk buelængde er:

# A = int_a ^ b sqrt ((dx / dt) ^ 2 + (dy / dt) ^ 2) dt #

Vi begynder med at finde de to derivater:

# Dx / dt = 1 # og # Dy / dt = 1 #

Dette giver, at lysbuen er:

# A = int_2 ^ 4sqrt (1 ^ 2 + 1 ^ 2) dt = int_2 ^ 4sqrt2 dt = sqrt2t _2 ^ 4 = 4sqrt2-2sqrt2 = 2sqrt2 #

Faktisk, da den parametriske funktion er så enkel (det er en lige linje), behøver vi ikke engang den integrerede formel. Hvis vi plotter funktionen i en graf, kan vi bare bruge den almindelige afstandsformel:

# A = sqrt ((x_1-x_2) ^ 2 + (y_1-y_2) ^ 2) = sqrt (4 + 4) = sqrt8 = sqrt (4 * 2) = 2sqrt2 #

Dette giver os det samme resultat som integralet, hvilket viser at begge metoder virker, selvom jeg i dette tilfælde vil anbefale den grafiske metode, fordi det er enklere.