Givet
# S_n = n ^ 2 + 20n + 12, #
# "hvor" n = + ve "heltal" #
Udtrykket kan arrangeres på forskellige måder forbundet med et perfekt firkant af heltal. Her er kun 12 arrangementer blevet vist.
# S_n = (n + 1) ^ 2 + 18n + 11 ……… 1 #
# S_n = (n + 2) ^ 2 + 16n + 8 ………. 2 #
# S_n = (n + 3) ^ 2 + 14n + 3 ………. 3 #
# S_n = (n + 4) ^ 2 + 12n-4 ………. 4 #
# S_n = (n + 5) ^ 2 + 10n-13 ……… 5 #
# S_n = (n + 6) ^ 2 + farve (rød) (8 (n-3) ……… 6) #
# S_n = (n + 7) ^ 2 + 6n-37 ………. 7 #
# S_n = (n + 8) ^ 2 + farve (rød) (4 (n-13) ……… 8) #
# S_n = (n + 9) ^ 2 + 2n-69 ………. 9 #
# S_n = (n + 10) ^ 2-88 ………….. 10 #
# S_n = (n + 11) ^ 2-2n-109 ……… 11 #
# S_n = (n + 12) ^ 2-4 (n + 33) ……… 12 #
Ved inspektion af over 10 relationer ser vi det # S_n # vil være perfekt firkantet i to tilfælde dvs. 6. og 8., når n = 3 og n = 13.
Så summen af alle mulige værdier af n for hvilke # S_n # er et perfekt firkant er = (3 + 13) = 16.
# S_n # kan være et perfekt firkant andet end disse to til negatve værdi af n. Sag 12 hvor # N = -33 # er et sådant eksempel.
