Svar:
# "Der findes ingen nem faktorisering her. Kun en generel metode" #
# "for at løse en kubisk ligning kan hjælpe os her." #
Forklaring:
# "Vi kunne anvende en metode baseret på substitutionen af Vieta." #
# "Opdeling efter de første koefficientudbytter:" #
# x ^ 3 + 2 x ^ 2 - (13/2) x + 3 = 0 #
# "Substituting" x = y + p "i" x ^ 3 + ax ^ 2 + bx + c "udbytter:" #
# y ^ 3 + (3p + a) y ^ 2 + (3p ^ 2 + 2ap + b) y + p ^ 3 + ap ^ 2 + bp + c = 0 #
# "hvis vi tager" 3p + a = 0 "eller" p = -a / 3 ", den første koefficient" # " # "bliver nul, og vi får:" #
# => y ^ 3 - (47/6) y + (214/27) = 0 #
# "(med" p = -2/3 ")" #
# "Substituting" y = qz "i" y ^ 3 + b y + c = 0 "giver:" #
# z ^ 3 + bz / q ^ 2 + c / q ^ 3 = 0 #
# "hvis vi tager" q = sqrt (| b | / 3) "bliver koefficienten z" #
# "3 eller -3, og vi får:" #
# "(her" q = 1.61589329 ")" #
# => z ^ 3 - 3 z + 1.87850338 = 0 #
# "Substituting" z = t + 1 / t "giver:" #
# => t ^ 3 + 1 / t ^ 3 + 1,87850338 = 0 #
# "Substituting" u = t ^ 3 "giver den kvadratiske ligning:" #
# => u ^ 2 + 1.87850338 u + 1 = 0 #
# "Rødderne på den kvadratiske ligning er komplekse." #
# "Dette betyder, at vi har 3 reelle rødder i vores kubiske ligning." #
# "En rot af denne kvadratiske ligning er" #
# u = -0.93925169 + 0.34322917 jeg #
# "Udskiftning af variablerne tilbage giver:" #
#t = root3 (u) = 1.0 * (cos (-0.93041329) + i sin (-0.93041329)) #
# = 0.59750263 - 0.80186695 i. #
# => z = 1.19500526 + i 0.0. #
# => y = 1.93100097 + i 0.0. #
# => x = 1.26433430 #
# "De andre rødder kan findes ved at dele og løse" # # "resterende kvadratisk ligning." #
# "De andre rødder er reelle: -3.87643981 og 0.61210551." #
Svar:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 = 2 (x-x_0) (x-x_1) (x-x_2) #
hvor:
#x_n = 1/6 (-4 + 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3)) #
Forklaring:
Givet:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 #
Bemærk, at det gør det meget lettere, hvis der er en tastatur i spørgsmålet.
For eksempel:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-farve (rød) (12) x + 6 = 2 (x-1) (x ^ 2 + 3x-6) = … #
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + farve (rød) (7) = (x-1) (2x ^ 2 + 6x-7) = … #
Hvis kubikken er korrekt i den givne form, så kan vi finde sine nuller og faktorer som følger:
#f (x) = 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 #
Tschirnhaus transformation
For at gøre opgaven med at løse den kubiske enklere, gør vi den kubiske enklere ved hjælp af en lineær substitution kendt som en Tschirnhaus-transformation.
# 0 = 108f (x) = 216x ^ 3 + 432x ^ 2-1404x + 648 #
# = (6x + 4) ^ 3-282 (6x + 4) + 1712 #
# = T ^ 3-282t + 1712 #
hvor # T = (6x +4) #
Trigonometrisk substitution
Siden #F (x) # har #3# reelle nuller, Cardanos metode og lignende vil resultere i udtryk, der involverer ureducerbare terninger af komplekse tal. Min foretrukne under sådanne omstændigheder er at anvende en trigonometrisk substitution i stedet.
Sætte:
#t = k cos theta #
hvor #k = sqrt (4/3 * 282) = 2sqrt (94) #
Derefter:
# 0 = t ^ 3-282t + 1712 #
#color (hvid) (0) = k ^ 3 cos ^ 3 theta - 282k cos theta + 1712 #
#color (hvid) (0) = 94k (4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) + 1712 #
#color (hvid) (0) = 94k cos 3 theta + 1712 #
Så:
#cos 3 theta = -1712 / (94 k) = -1712 / (188 sqrt (94)) = - (1712sqrt (94)) / (188 * 94) = -214/2209 sqrt (94) #
Så:
# 3 theta = + -cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + 2npi #
Så:
#theta = + - 1/3cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3 #
Så:
#cos theta = cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3) #
Hvilket giver #3# tydelige nuller af kubik i # T #:
#t_n = k cos theta = 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3) "" # til #n = 0, 1, 2 #
Derefter:
#x = 1/6 (t-4) #
Så de tre nuller af den givne kubiske er:
#x_n = 1/6 (-4 + 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3)) #
med omtrentlige værdier:
# x_0 ~~ 1.2643 #
# x_1 ~ ~ -3.8764 #
# x_2 ~ ~ 0.61211 #
