Hvordan finder du den inverse af A = ((2, 4, 1), (- 1, 1, -1), (1, 4, 0))?

Svar:

Den inverterede matrix er: #((-4,-4,5),(1,1,-1),(5,4,-6))#

Forklaring:

Der er mange måder i inverter matricer, men for dette problem brugte jeg cofactor transponeringsmetoden.

Hvis vi forestiller os det

#A = ((vecA), (vecB), (vecC)) #

Så det:

#vecA = (2,4,1) #

#vecB = (-1,1, -1) #

#vecC = (1,4,0) #

Så kan vi definere gensidige vektorer:

#vecA_R = vecB xx vecC #

#vecB_R = vecC xx vecA #

#vecC_R = vecA xx vecB #

Hver enkelt beregnes let ved hjælp af determinantreglen for krydsprodukter:

#vecA_R = | (hati, hat, hat), (- 1,1, -1), (1,4,0) | = (4, -1, -5) #

#vecB_R = | (hati, hat, hat), (- 1,4,0), (2,4,1) | = (4, -1, -4) #

#vecC_R = | (hati, hatj, hatk), (2,4,1), (- 1,1, -1) | = (-5,1,6) #

Vi kan bruge disse til at konstruere cofactor transponere af # M #, # Barmhjertigheds #, som sådan:

#barM = ((vecA_R ^ T, vecB_R ^ T, vecC_R ^ T)) = ((4,4, -5), (-1,1-1,1), (-5,6-4,6))

De gensidige vektorer og cofaktor-transponeringsmatrixen har to interessante egenskaber:

# vecA * vecA_R = vecB * vecB_R = vecC * vecC_R = det (M) #

og

# M ^ -1 = barM / detM #

Så vi kan bestemme det:

#det (M) = vecC * vecC_R = (1,4,0) * (- 5,1,6) = -1 #

Det betyder at:

# M ^ -1 = -barM / 1 = - ((4,4, -5), (-1,1-1,1), (- 5, 4,6)) = ((-4,4, 5), (1,1, -1), (5,4, -6)) #