Hvornår bruger du Herons formel til at finde område?

Du kan bruge det, når du kender længden af alle tre sider af en trekant.

Jeg håber, at dette var nyttigt.

Svar:

Herons formel er næsten altid den forkerte formel at bruge; prøv Archimedes 'sætning for en trekant med område #EN# og sider # A, b, c #:

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

#quad = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

#quad = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

# quad = 16s (s-a) (s-b) (s-c) # hvor # s = 1/2 (a + b + c) #

Denne sidste er tyndt sløret Heron.

Forklaring:

Alexanders Helt skrev i det første århundrede e.Kr. Hvorfor fortsætter vi med at torturere eleverne med hans resultat, når der er meget pænere moderne ækvivalenter, har jeg ingen idé om.

Herons formel for området #EN# af en trekant med sider # A, b, c # er

# A = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # hvor # s = 1/2 (a + b + c) # er semipimeteret.

Der er ingen tvivl om, at denne formel er fantastisk. Men det er akavet at bruge på grund af fraktionen og, hvis vi starter fra koordinater, de fire firkantede rødder.

Lad os bare lave matematikken. Vi kvadrerer og eliminerer # S # som hovedsagelig tjener til at skjule en #16# og en vigtig faktorisering. Du kan måske prøve det selv først.

(A + b + c) -a) (1/2 (a + b + c) -b) (1/2 (a + b + c) -c) #

# A ^ 2 = 1/2 (a + b + c) (1/2 (-a + b + c)) (1/2 (a-b + c)) (1/2 (a + bc)) #

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

Det er allerede meget bedre end Herons form. Vi redder fraktionen til slutningen, og der er ikke mere at undre sig over semipimeterets betydning.

Den degenererede sag fortæller. Når en af de faktorer med et minustegn er nul, er det da to sider giver op til præcis den anden side. Det er afstande mellem tre kollinære punkter, den degenererede trekant, og vi får nul-område. Giver mening.

Det # A + b + c # faktor er interessant. Hvad det fortæller os, er denne formel stadig, hvis vi bruger forskydninger, signerede længder, i stedet for alle positive.

Formlen er stadig akavet at bruge givne koordinater. Lad os formere det ud; du vil måske prøve det selv;

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

# = (-a ^ 2-ab-ac + ab + b ^ 2 + bc + ac + bc + c ^ 2) (a ^ 2-ab + ac + ab-b ^ 2 + bc -ac + bc-c ^ 2) #

# = (-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2bc) #

# = (-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2bc) #

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Denne form afhænger kun af længdernees kvadrater. Det er tydeligt helt symmetrisk. Vi kan gå videre end Heron nu og sige, om kvadratiske længder er rationelle, så er det kvadratiske område.

Men vi kan gøre det bedre, hvis vi noterer

# (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) +2 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) #

subtraktion,

# 16A ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Det er den smukkeste form.

Der er en asymmetrisk udseende, som normalt er den mest nyttige. Vi bemærker

# (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) -2 (-a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) #

Tilføjer dette til

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

Det er den mest nyttige form. Der er virkelig tre måder at skrive det på, bytte sider.

Samlet kaldes disse Archimedes 'sætning fra NJ Wildberger's rationelle trigonometri.

Når der gives 2D koordinater, er Shoelace Formula ofte den hurtigste vej til området, men jeg gemmer det for andre stillinger.