Hvordan udvides i Maclaurin serien dette? f (x) = int_0 ^ xlog (1-t) / TDT

Svar:

#f (x) = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / 1) ^ 2 #

Visuel: Tjek denne graf

Forklaring:

Vi kan tydeligvis ikke evaluere denne integral, da den bruger nogen af de regelmæssige integrationsteknikker, vi har lært. Men da det er en konkret integreret del, kan vi bruge en MacLaurin-serie og gøre det, der kaldes term ved termintegration.

Vi skal finde MacLaurin serien. Da vi ikke ønsker at finde den nth derivat af den funktion, skal vi prøve at passe den ind i en af MacLaurin serien, vi allerede kender.

For det første kan vi ikke lide # Log #; vi vil gøre det a # Ln #. For at gøre dette kan vi simpelthen anvende ændringen af basisformlen:

#log (x) = ln (x) / ln (10) #

Så vi har:

# Int_0 ^ xln (1-t) / (TLN (10)) dt #

Hvorfor gør vi det her? Nå nu bemærke det # d / dxln (1-t) = -1 / (1-t) # Hvorfor er det så specielt? Godt, # 1 / (1-x) # er en af vores almindeligt anvendte MacLaurin-serier:

# 1 / (1-x) = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + … = sum_ (n = 0)

…for alle #x# på #(-1, 1#

Så vi kan bruge dette forhold til vores fordel og erstatte #ln (1-t) # med # Int-1 / (1-t) dt #, som tillader os at erstatte det # Ln # sigt med en MacLaurin-serie. At sætte dette sammen giver:

# ln (1-t) / (tln (10)) = -1 / (tln (10)) int 1 + t + t ^ 2 + t ^ 3 + … + t ^ n dt #

Evaluering af integralet:

# = -1 / (tln (10)) t + t ^ 2/2 + t ^ 3/3 + t ^ 4/4 + … + t ^ (n + 1) / (n + 1) #

Afbrydelse af # T # sigt i nævneren:

# = -1 / (ln (10)) 1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^ 3/4 + … + t ^ (n) / (n + 1) #

Og nu tager vi det konkrete integreret vi begyndte problemet med:

(ln (10)) 1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^ 3/4 + … + t ^ (n) / (n + 1)) dt #

Bemærk: Vær opmærksom på, hvordan vi nu ikke behøver at bekymre os om at dividere med nul i dette problem, hvilket er et problem, vi havde haft i den oprindelige integand på grund af # T # sigt i nævneren. Da dette blev annulleret i det foregående trin, viser det sig, at diskontinuiteten er aftagelig, hvilket virker godt for os.

# = -1 / (ln (10)) t + t ^ 2/4 + t ^ 3/9 + t ^ 4/16 + … + t ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 # evalueret fra #0# til #x#

# = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 - 0 #

# = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 #

Sørg dog for at indse, at denne serie kun er god på intervallet #(1, 1#, da den MacLaurin-serie, vi brugte ovenfor, kun er konvergerende på dette interval. Tjek denne graf, jeg lavede for at få en bedre ide om hvordan dette ser ud.

Håber det hjalp:)

Den lyserøde trapezoid udvides med en faktor på 3. Det resulterende billede vises i blåt. Hvad er forholdet mellem de to trapezimers perimetre? (Lille: stor)

Omkredsen er også udvidet med en faktor på 3 forhold mellem blå og lyserød = 6: 2, som når forenklet er 3: 1, er forholdet mellem LENGTHS, så længden målinger er i dette forhold Perimeter er også en længde måling er i forholdet 3: 1, således at perimeteren også dilateres med en faktor på 3

U_1, u_2, u_3, ... er i geometrisk progression (GP) .Det fælles forhold for vilkårene i serien er K.Nu bestemmer summen af serien u_1u_2 + u_2u_3 + u_3u_4 + ... + u_n u_ (n + 1) i form af K og u_1?

Sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2) Den generelle term af en geometrisk progression kan skrives: a_k = ar ^ (k-1) hvor a er den oprindelige term og r er det fælles forhold. Summen til n udtryk er angivet ved formlen: s_n = (a (1-r ^ n)) / (1-r) farve (hvid) () Med de oplysninger, der gives i spørgsmålet, kan den generelle formel for u_k være skrevet: u_k = u_1 K ^ (k-1) Bemærk at: u_k u_ (k + 1) = u_1 K ^ (k-1) * u_1 K ^ k = u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) Så: sum (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = sum_ (k = 1) ^ n u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) farve (hvid) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ +1)) =

Hvordan finder du de første tre udtryk i en Maclaurin-serie for f (t) = (e ^ t - 1) / t ved hjælp af Maclaurin-serien af e ^ x?

Vi ved at Maclaurin-serien af e ^ x er sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) Vi kan også udlede denne serie ved at bruge Maclaurin-udvidelsen af f (x) = sum_ (n = 0) ^ oi ^ ((n)) (0) x ^ n / (n!) og det faktum, at alle derivater af e ^ x stadig er e ^ x og e ^ 0 = 1. Nu skal du blot erstatte ovenstående serie til (e ^ x-1) / x = (sum_ (n = 0) ^ oo (x ^ n / (n!)) - 1) / x = (1 + sum_ (n = 1) ^ oo (x ^ n / (n!)) 1) / x = (sum_ (n = 1) ^ oo (x ^ n / (n!))) / X = sum_ (n = 1) ^ oox ^ (n-1) / (n!) Hvis du vil have indekset at starte ved i = 0, skal du blot erstatte n = i + 1: = sum_ (i = 0) ^ oox ^ i / ((i + 1) !) Nu skal d