U_1, u_2, u_3, ... er i geometrisk progression (GP) .Det fælles forhold for vilkårene i serien er K.Nu bestemmer summen af serien u_1u_2 + u_2u_3 + u_3u_4 + ... + u_n u_ (n + 1) i form af K og u_1?

Svar:

#sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) (1-K2)

Forklaring:

Den generelle term af en geometrisk progression kan skrives:

#a_k = a r ^ (k-1) #

hvor #en# er den oprindelige sigt og # R # det fælles forhold.

Summen til # N # vilkårene er angivet ved formlen:

#s_n = (a (1-r ^ n)) / (1-r) #

#COLOR (hvid) () #

Med de oplysninger, der gives i spørgsmålet, den generelle formel for # U_k # kan skrives:

#u_k = u_1 K ^ (k-1) #

Noter det:

#u_k u_ (k + 1) = u_1K ^ (k-1) * u_1K ^ k = u_1 ^ 2K ^ (2k-1) #

Så:

#sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = sum_ (k = 1) ^ n u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) #

#color (hvid) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = sum_ (k = 1) ^ n (u_1 ^ 2K) * (K ^ 2) ^ (k-1)

#color (hvid) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = sum_ (k = 1) ^ n a r ^ (k-1) hvor # A = u_1 ^ 2K # og #r = K ^ 2 #

#color (hvid) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = (a (1-r ^ n)) / (1-r)

#color (hvid) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n)))