Hvad er grænsen som x nærmer sig uendelig (ln (x)) ^ (1 / x)?

Det er ret simpelt. Du skal bruge det faktum at

#ln (x) = e ^ (ln (ln (x))) #

Så ved du det

# ln (x) ^ (1 / x) = e ^ (ln (ln (x)) / x) #

Og så sker den interessante del, som kunne løses på to måder - ved hjælp af intuition og ved hjælp af matematik.

Lad os starte med intuition del.

(ln (ln (x)) / x = lim_ (n-> infty) e ^ (("noget mindre end x") / x) = e ^ 0 = 1 #

Lad os tænke hvorfor er det sådan?

Takket være kontinuiteten i # E ^ x # funktion vi kan flytte grænse:

#lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = e ^ (lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x)) #

At evaluere denne grænse #lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x) #, kan vi bruge de l'Hospital regel der hedder:

#lim_ (n-> infty) (f (x) / g (x)) = lim_ (n-> infty) ((f '

Derfor, når vi tæller derivater, får vi:

#lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x) = lim_ (n-> infty) (1 / (xln (x)))

Som derivater er # 1 / (xln (x)) # for nominator og #1# til nævneren.

Denne grænse er let at beregne som den er # 1 / infty # slags grænse, som er nul.

Derfor ser du det

(ln (ln (x)) / x = e ^ (lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x)) = e ^ 0 = 1 #

Og det betyder det #lim_ (n-> infty) ln (x) ^ 1 / x = 1 # såvel.