Rødderne {x_i}, i = 1,2,3, ..., 6 af x ^ 6 + ax ^ 3 + b = 0 er sådan, at hver x_i = 1. Hvordan beviser du det, hvis b ^ 2-a ^ 2> = 1, a ^ 2-3 <= b ^ 2 <= a ^ 2 + 5 ?. Ellers er b ^ 2-5 <= a ^ 2 <= b ^ 2 + 3?

$Rødderne {x_i}, i = 1,2,3, ..., 6 af x ^ 6 + ax ^ 3 + b = 0 er sådan, at hver x_i = 1. Hvordan beviser du det, hvis b ^ 2-a ^ 2> = 1, a ^ 2-3 <= b ^ 2 <= a ^ 2 + 5 ?. Ellers er b ^ 2-5 <= a ^ 2 <= b ^ 2 + 3?$

Svar:

I stedet er svaret # {(a, b)} = {(+ - 2, 1) (0, + -1)} # og de tilsvarende ligninger er # (x ^ 3 + -1) ^ 2 = 0 og x ^ 6 + -1 = 0. #.

Forklaring:

Det gode svar fra Cesereo R gjorde det muligt for mig at ændre

min tidligere version, for at få mit svar okay.

Formen # x = r e ^ (jeg theta) # kunne repræsentere både reelle og komplekse

rødder. I tilfælde af reelle rødder x, r = | x |., Aftalt! Lad os fortsætte.

I denne form, med r = 1, opdeles ligningen i to ligninger, #cos 6theta + a cos 3theta + b = 0 # …(1)

# synd 6 theta + en synd 3 theta = 0 #… (2)

For at være rolig, vælg (3) først og brug #sin 6theta = 2 sin 3theta cos 3theta #. Det giver

#sin 3theta (2 cos 3theta + a) = 0 #, med løsninger

#sin 3theta = 0 til theta = k / 3pi, k = 0, + -1, + -2, + -3, … # …(3)

# cos 3theta = -a / 2 til theta = (1/3) (2kpi + -cos ^ (- 1) (- a / 2)) #, med k som før. … (4)

Her, # | cos 3theta | = | -a / 2 | <= 1 til en i -2, 2 # … (5)

(3) reducerer (1) til

# 1 + -a + b = 0 # … (6)

Ved brug af #cos 6theta = 2 cos ^ 2 3theta-1 #, (4) reducerer (1) til

# 2 (-a / 2) ^ 2-1-a ^ 2/2 + b = 0 til b = 1 #… (7)

Nu fra (6), # a = + -2 #

Så, (a, b) værdier er (+ -2, 1)..

De tilsvarende ligninger er # (x ^ 3 + -1) ^ 2 = 0 og (x ^ 6 + 1) = 0 #

Men det stemmer ikke helt overens med Cesareos sæt værdier for (a,). Jeg mener, at jeg skal gennemgå mit svar igen. I betragtning af (4) og (6) sammen ved at indstille a = 0, b = - 1. Nem at bekræfte det # (a, b) = (0, -1) #er en løsning, og den tilsvarende ligning er # X ^ 6-1 = 0 #, med to virkelige rødder #+-1#. Her, # 6 theta = (4k-1) pi og cos 6theta = -1 #, og så, (6) bliver b = 1, når a = 0 også. Du er 100% rigtig, Cesareo. Tak skal du have.

Det fuldstændigt komplette svar er som angivet i svarboksen.

Bemærk: Dette er endnu et forslag, men jeg vil gerne minde om og redegøre for, hvordan jeg lige så tidligt har set ulighederne i det nuværende spørgsmål.

Desværre var min scribbling i denne sag gået til støvbakken. Hvis dette svar er rigtigt, men ikke det, jeg #fortryde# for det samme. Jeg er nødt til at ændre spørgsmålet for dette svar. Jeg tror hurtigt, men skriv ikke, synkroniseret med tænkning. Bugs bliver let indlejret i mine tanker.

Jeg forventer, at neurovidenskabelige tilslutter mig min forklaring, for indgangen af fejl i vores hårde arbejde.

Svar:

Se nedenunder.

Forklaring:

Antag det # {a, b} i RR # det har vi #b = pm1 #

fordi #b = Pix_i #. Nu gør #y = x ^ 3 # vi har

# Y ^ 2 + aypm1 = 0 # og løse for # Y #

#y = - (a / 2) pmsqrt ((a / 2) ^ 2- (pm1)) # men

# Absy = abs (- (a / 2) pmsqrt ((a / 2) ^ 2- (PM1))) = 1 #

Løsning for #en# vi har # A = {0, -2,2} #

Ligningen # X ^ 6 + ax ^ 3 + b = 0 # svarer til en af mulighederne

# X ^ 6 + a_0x ^ 3 + b_0 = 0 #

med

# A_0 = {- 2,0,2} #

# B_0 = {- 1,1} #