Svar:
Diskriminanten # Delta # af # m ^ 2 + m + 1 = 0 # er #-3#.
Så # m ^ 2 + m + 1 = 0 # har ingen reelle løsninger. Det har et konjugeret par komplekse løsninger.
Forklaring:
# m ^ 2 + m + 1 = 0 # er af formen # am ^ 2 + bm + c = 0 #, med # A = 1 #, # B = 1 #, # c = 1 #.
Dette har diskriminerende # Delta # givet ved formlen:
#Delta = b ^ 2-4ac = 1 ^ 2 - (4xx1xx1) = -3 #
Det kan vi konkludere med # m ^ 2 + m + 1 = 0 # har ingen reelle rødder.
Rødderne af # m ^ 2 + m + 1 = 0 # er givet ved den kvadratiske formel:
#m = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) = (-b + -sqrt (Delta)) / (2a)
Bemærk, at diskriminanten er den del indenfor kvadratroten. Så hvis #Delta> 0 # så har kvadratisk ligning to forskellige reelle rødder. Hvis # Del = 0 # så har den en gentagen reel rod. Hvis # Delte <0 # så har den et par tydelige komplekse rødder.
I vores tilfælde:
#m = (-b + -sqrt (Delta)) / (2a) = (-1 + -sqrt (-3)) / 2 = (-1 + -i sqrt (3)) / 2 #
Nummeret # (- 1 + i sqrt (3)) / 2 # er ofte betegnet af det græske brev # Omega #.
Det er den primitive terningrots af #1# og er vigtigt, når man finder alle rødder af en generel kubisk ligning.
Læg mærke til det # (m-1) (m ^ 2 + m + 1) = m ^ 3 - 1 #
Så # omega ^ 3 = 1 #
Svar:
Diskriminanten af # (MA2 + m + 1 = 0) # er #(-3)# som fortæller os, at der ikke er nogen reelle løsninger på ligningen (en graf af ligningen går ikke over m-aksen).
Forklaring:
Givet en kvadratisk ligning (ved hjælp af # M # som variabel) i formularen:
#COLOR (hvid) ("XXXX") ## am ^ 2 + bm + c = 0 #
Løsningen (i form af # M #) er givet ved den kvadratiske formel:
#COLOR (hvid) ("XXXX") ##m = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #
Det diskriminant er delen:
#COLOR (hvid) ("XXXX") ## B ^ 2-4ac #
Hvis diskriminant er negativ
#COLOR (hvid) ("XXXX") #der kan være ingen reelle løsninger
#COLOR (hvid) ("XXXX") #(da der ikke er nogen reel værdi, som er kvadratroden af et negativt tal).
For det givne eksempel
#COLOR (hvid) ("XXXX") ## m ^ 2 + m + 1 = 0 #
diskriminanten, # Delta # er
#COLOR (hvid) ("XXXX") ##(1)^2 - 4(1)(1) = -3#
og derfor
#COLOR (hvid) ("XXXX") #Der er ingen reelle løsninger på denne kvadratiske.
